关于单位球面及双曲空间中子流形的一些结果

论文摘要

本文内容分两部分。第二章,我们从子流形几何的观点出发,得到了关于单位球面中偶数维子流形Mn的一个拓扑球定理,该结果将Vlachos近期的一个同类结果由奇数维推广到偶数维。第三章,我们研究了双曲空间中具有两个不同主曲率的常数量曲率超曲面,并得到了分类定理,同时还得到了若干刚性的结果。 本文的主要结果叙述如下: 定理A 设Mn是n+k维单位球面Sn+k中紧致可定向的子流形,其平均曲率向量为H。如果n为偶数,Ricci曲率满足 Ric>（n-2）[1+H2+|H|（1+|H|2）1/2]则Mn同胚于Sn。 定理B 设Mn是Hn+1（-1）（n≥3）中具有常数量曲率n（n-1）R和两个不同主曲率的超曲面。则有 （ⅰ）如果两个主曲率的重数均为大于1的常数,则Mn等参且等距于黎曼乘积Hm（c1）×Sn-m（c2）,其中2≤m≤n-2,c1、c2是满足c1<0,c2>0及1/c1+1/c2=-1的常数; （ⅱ）Hn+1（-1）中存在无限多具有两个不同主曲率其中一个是单重的常数量曲率超曲面; （ⅲ）若Mn完备,且两个主曲率中的一个是单重的。则R≥-1。进一步地,如果假定R>-（n-2）/n（R≠o）,Mn的第二基本形式长度的平方S满足 S≥（n-1）（nR+n-2）/n-2+（n-2）/（nR+n-2）,则当R>0时,Mn等距于黎曼乘积H1（-nR/（nR+n-2））×Sn-1（nR/（n-2））,当R<0时,Mn等距于Hn-1（nR/（n-2））×S1（-nR/（nR+n-2））; （ⅳ）若Mn完备,且R>0,两个主曲率中的一个是单重的。 S≤（n-1）（nR+n-2）/（n-2）+（n-2）/（nR+n-2）,

论文目录

• 第一章 引言
• 第二章 关于球面中偶数维子流形的一个球定理
• §2.1 引言
• §2.2 一些预备知识
• §2.3 定理的证明
• 第三章 双曲空间中具有常数量曲率的超曲面
• §3.1 引言
• n+1（c）中超曲面的结构方程'>§3.2 Hⁿ⁺¹（c）中超曲面的结构方程
• §3.3 具有两个不同主曲率及常数量曲率的超曲面
• §3.4 定理3.2型超曲面的实现
• 1（tanh²r-1）×S^n-1（coth²r-1）和H^n-1（tanh²r-1）×S¹（coth²r-1）的表征'>§3.5 黎曼乘积 H¹（tanh²r-1）×S^n-1（coth²r-1）和H^n-1（tanh²r-1）×S¹（coth²r-1）的表征
• 参考文献
• 后记