距离比值迭代分形及复迭代函数系统的研究

论文摘要

将分形几何与计算机图形学结合,实现分形体的可视化以及利用分形模拟自然景物是计算机图形学中的重要研究方向之一。应用计算机图形学研究分形几何有助于揭示分形本身的结构和性质,还可以进行艺术创作,生成分形艺术图形。本文针对分形图形学中存在的若干问题进行研究,主要的创新工作如下:1.提出了一种构造分形图的新方法:距离比值迭代法。该方法采用两点迭代,利用其距离比值的迭代收敛速度来绘制分形图。不同于逃逸时间算法,距离比值迭代法绘制的广义M-J集在映射稳定区域内具有丰富的细节,并且能够绘制一些逃逸时间算法无法绘制的映射分形图。2.详尽研究了复映射f（z）=zα+c构成的距离比值广义M-J集的性质。讨论了对于不同的参数c和指数α,距离比值广义M-J集构图特征的变化,说明了距离比值广义M-J集与传统M-J集的区别和联系。讨论了一些以往未被研究过的映射所产生的分形集,如复映射f（z）=zα的距离比值广义J集,复映射f（z）=zα+c（0<α<1）的距离比值广义M集等。3.全面系统地考查了距离比值迭代方法可能的扩展。包括:不同初始迭代点对构图的影响;迭代过程中引进其他映射对结果图的影响;各种周期点、周期轨道时距离比值迭代方法的变化等。4.研究了复映射族f（z）=z2+ci的迭代性质和规律,研究了其成为迭代函数系统的条件,分析了其吸引子的空间范围及不动点的分布规律等。5.提出了一个基于迭代函数系统的模拟干笔飞白效果的纹理模型。该模型采用迭代函数系统的吸引子作为笔迹,能够用于现有毛笔模型中,较好的实现干笔飞白效果。

论文目录

• 第一章 绪论
• 1.1 分形的定义
• 1.2 分形的发展历程及其现状
• 1.3 分形在计算机图形学中的应用
• 1.3.1 复平面上的迭代分形
• 1.3.2 分形艺术
• 1.3.3 分形图像压缩
• 1.3.4 自然景物生成
• 1.4 本文的工作和意义
• 第二章 绘制分形图的基本算法及相关理论
• 2.1 复分析的基本理论
• 2.2 Julia 集
• 2.3 Mandelbrot 集
• 2.4 迭代函数系统
• 2.5 构造分形图的算法
• 2.5.1 逃逸时间法
• 2.5.2 反函数迭代法
• 2.5.3 IFS 吸引子的确定性算法
• 2.5.4 IFS 吸引子的随机迭代法
• 第三章 基于距离比值的迭代分形图
• 3.1 距离比值及其迭代
• 3.1.1 距离比值的定义
• 3.1.2 距离比值的迭代性质
• 3.2 距离比值迭代分形及其绘制算法
• 3.2.1 距离比值广义M-J 集的定义
• 3.2.2 收敛时间算法
• 3.2.3 逆迭代层次绘制算法
• 3.2.4 混合算法
• 3.3 常见映射的距离比值迭代分形
• 3.3.1 多项式映射
• 3.3.2 三角映射
• 3.3.3 对数映射与指数映射
• 3.3.4 3x+1 推广映射
• 3.4 小结
• 第四章 距离比值广义J 集
• α的距离比值广义J 集'>4.1 复映射f（z）=z^α的距离比值广义J 集
• 4.1.1 α=2 时的距离比值广义J 集
• 4.1.2 1<α<2 时的距离比值广义J 集
• 2+c 的距离比值广义J 集'>4.2 复映射f（z）=z²+c 的距离比值广义J 集
• 4.2.1 映射f 有唯一吸引不动点的情形
• 4.2.2 映射f 有2 周期吸引轨道的情形
• 4.2.3 映射f 有p 周期吸引轨道的情形
• 2 与距离比值广义J 集'>4.3 初始迭代点z² 与距离比值广义J 集
• 2 为固定值'>4.3.1 z²为固定值
• 4.3.2 双映射复合距离比值广义J 集
• 4.3.2.1 分式线形映射
• 4.3.2.2 非线性映射
• 4.3.2.3 三角映射
• α+c 的距离比值广义J 集'>4.4 复映射f（z）=z^α+c 的距离比值广义J 集
• 0 时的情形'>4.4.1 α>0 时的情形
• 4.4.2 α<0 时的情形
• 4.5 小结
• 第五章 距离比值广义M 集
• 5.1 广义M 集非边界区域的绘制算法
• 1 的距离比值广义M 集'>5.2 α>1 的距离比值广义M 集
• 5.3 α<0 的距离比值广义M 集
• 5.4 0<α<1 的距离比值广义M 集
• 5.5 小结
• 2+c_i'>第六章 复迭代函数系统f（z）=z²+c_i
• 2+c_i 的迭代性质'>6.1 复映射族f（z）=z²+c_i的迭代性质
• 2+c_i 成为IFS 的条件'>6.1.1 复映射族f（z）=z²+c_i 成为IFS 的条件
• i 的选择'>6.1.2 不动点性质与参数c_i的选择
• 6.1.3 吸引子范围
• 6.2 基于复迭代函数系统的干笔飞白模型
• 6.2.1 获取笔迹点集
• 6.2.2 建立迭代函数系统
• 6.2.3 绘制笔迹吸引子
• 6.3 小结
• 第七章 总结与展望
• 参考文献
• 致谢
• 作者攻读博士期间发表的论文情况
• 学位论文摘要（中文）
• 学位论文摘要（英文）