夏扣琴
摘要：等边三角形是初中数学中的重点知识，在教学中，应注意它在各个方面的应用，使学生灵活掌握。本文从多个方面介绍了等边三角形的应用，特别是从等边三角形的角度说明了利用等边三角形三条边和三个角的特殊性质的问题，并就典型例题加以分析解答，对学生的常见错误进行了剖析。
关键词：等边三角形；应用；常见错误
等边三角形是一种特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，每个内角都等于60°。在近年来的中考中，和等边三角形有关的考题屡见不鲜。解答它们，要注意灵活利用等边三角形三条边和三个角的特殊性质。
一、判断三角形的形状
例1：已知，如图1，是等边三角形，过AB边上的点D作DGBC，交AC于点G，在GD的廷长线上取点E，使DE＝DB，连接AE、CD。
(1)求证：≌。
(2)过点E作EF//DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断是怎样的三角形，试证明你的结论。
分析：解答第(1)问要充分利用条件DGBC，推出△ADG是等边三角形，从而顺利找出三角形全等的边或角相等的条件；第(2)问根据已知EF//DC和DGBC，得出≌，结合已证≌，不难得出∠AEF=∠ACB=60°、AE=EF，所以△AEF是等边三角形。
证明：∵△ABC是等边三角形∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°AB=AC，
∵DGBC∴∠ADG=∠B=60°∠AGD=∠ACB=60°，
∴△ADG是等边三角形∴AD=AG=DG，
∵DE＝DB，∴EG=AB∴GE=AC，
在和中，
∵GE=AC，∠AGE=∠DAC=60°，AG=DA∴≌。
(2)如图1，连接AF，则△AEF是等边三角形，理由：
连DF，则≌(ASA)∴∠DEF=∠FCD，EF=CD，
又∵≌∴∠AEG=∠DCA，AE=CD，
∴∠AEF=∠ACB=60°AE=EF∴△AEF是等边三角形。
评注：本题综合运用了等边三角形的性质和定理，第(2)问结论不明确，需充分利用条件进行合理猜想、判断，得出结论。
二、求角度的大小
例2。如图2，AD是等边△ABC的中线，在AC上取AE＝AD。求∠EDC的度数。
解析：因为AD是等边△ABC的中线，所以AD又是∠BAC的平分线和BC边上的高，且∠CAD＝∠BAD＝30°，∠ADC＝90°，又AE＝AD，所以∠ADE＝∠AED＝75°，所以∠EDC＝90°－75°＝15°。
评注：由计算可知，无论是等边三角形，还是等腰三角形，只要满足AD＝AE，都有结论∠EDC＝∠BAD成立。
三、说明线段相等
例3:如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABE和△ACD都是等边三角形，F是BE的中点，DF交AC于M。试说明线段AM与MC相等的理由。
解析：考虑F是BE的中点，△ABE是等边三角形，故想到连结AF，则AF⊥BE，∠BAF＝30°，又在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，所以AB所在的直线是△ABF和△ABC的对称轴，即AF＝AC，而△ACD是等边三角形，则AF＝AC＝AD＝CD，而∠FAD＝∠FAB＋∠BAC＋∠CAD＝30°+30°+60°＝120°，所以∠ADM＝30°，即∠ADM＝∠CDM＝30°，所以△ADM与△CDM关于DM所在的直线对称，即点A与点C关于直线DM对称，所以AM＝MC。
评注：等边三角形是一个轴对称图形，所以利用轴对称的知识解决等边三角形的问题，方便、快捷。
四、构造等边三角形
例4:如图4，等边△ABC中，D、E分别在BC、BA的延长线上，且BD＝AE，试说明线段CE与DE相等的理由。
解析：要说明线段CE与DE相等，考虑△ABC是等边三角形，可延长BD到F，使BF＝BE，连结EF。这样，因为△ABC是等边三角形，所以∠B＝60°，即△EBF是等边三角形，又BD＝AE，可得DF＝BC，所以△EBC与△EFD关于过点E且垂直于BF的直线对称，所以CE＝DE。
评注：本题通过构造出等边三角形使本来求解陷入困境的思维，又柳暗花明，容易找到了求解的切入点。
五、处理有关动点问题
例5:如图5，把等边△ABC和等边△BCD拼合在一起，E在AB上移动，F在BD上移动，且满足AE＝BF。试说明不论E、F怎样移动，△ECF总是等边三角形。
解析：由△ABC和△BCD都是等边三角形，所以△ABC与△BCD关于BC所在的直线对称，又BA＝BD，E在AB上移动，F在BD上移动，且满足AE＝BF，所以BE＝DF，而CB＝CD，∠D＝∠CBE＝60°，这就相当于将△CBE转动到△CDF，即△CBE与△CDF能完全重合，所以CE＝CF，∠DCF＝∠BCE，而∠DCF+∠BCF＝60°，即∠BCE+∠BCF＝60°，则∠ECF＝60°，所以△ECF为等边三角形。
评注：这里不能误认为△BCE与△BCF是关于BC对称的。
六、开放探索题
例6:如图6，已知为等边三角形，、、分别在边、、上，且也是等边三角形。除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的。
分析：本题是一道开放探索性试题，要充分依据等边三角形的相关知识点来解答。
解：图中相等的线段是：AE=BF=CD，AF=BD=CE，
∵△ABC与△DEF都是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°，DE=EF=FD，
又∵∠CED+∠AEF=120°，∠CDE+∠CED=120°∴∠AEF=∠CDE，
同理，得∠CDE=∠BFD∴△AEF≌△BFD≌△CDE(AAS)，
所以AE=BF=CD，AF=BD=CE。
评注：解答时应根据条件探索相应的结论，符合条件的结论往往是多样性的，需充分利用条件进行合理猜想，发现规律，得出结论。
总之，有关等边三角形的习题有许多，但是它们都万变不离其宗。只要我们掌握了其中的规律，并利用正确的方法教授给我们的学生，那么他们一定能将这一知识融会贯通起来，从而更好地学好等边三角形。因此笔者希望每一位教师都能对这一知识点重视起来，从而做到有效地教学。
作者单位：江苏省兴化市顾庄学校
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