广义Hermite码的自同构群对重量分布的作用以及重量是最小Hamming重量的码字个数

论文摘要

研究代数几何码的主要理论基础是代数几何,在编码方式与研究码的性质上都要用到代数几何的概念和定理,特别是要用到代数几何中最重要的三个定理:Riemann-Roch定理,Hasse-Weil定理,Bezout定理.特别是Riemann-Roch定理,它是研究代数几何码的核心工具,在文中定理3,定理4可以看到它的应用。代数几何码根据赋值方式的不同,可以分为两大类:几何RS码和几何Goppa码。可以证明几何RS码C （ D , G ）和几何Goppa码C * （ D , G）是对偶码,并且C（D,G） = C * （ D , W + D - G）,其中W是典范除子。而对于对偶码,他们的重量分布有内在联系,即Macwilliams恒等式。所以一般的说我们只要研究几何RS码。代数几何码具有非常好的性质,它是由有限域上的代数曲线得到的码,码的性质由代数曲线的性质决定。寻找或研究一些非常优美的代数曲线,就可能得到性质好的代数几何码。对于Fq2上的Hermitian曲线yq + y = xq+1,我们可以看到左边是迹映射,右边是模映射,曲线上有理点的个数达到Hasse-Weil界,因此由这个曲线得到的码的性质非常好。在本文中我们研究了广义Hermitian曲线y q + y = xs, s≠q+ 1。它同样达到Hasse-Weil界,并且性质和Hermitian码很类似,比如Hermitian曲线上存在仿射自同构群,对于广义Hermitian曲线,通过类似的途径也可以得到相似的仿射自同构群。但是,存在仿射自同构群的曲线是非常少的。在[7]中定义了仿射自同构群对Hermitian码的作用,这种群对集合的作用可以平移到广义情形。[8]中对Hermitian曲线上的仿射自同构群作了推广,并且全面研究了Hermitian码的所有可能的自同构群。曲线的仿射自同构群是码的自同构群的子群。[7]中通过仿射自同构群对码的作用,可以得到一个关于码的重量分布的结论。当（ , q ） = 1时,所有重量为的码字个数a≡0 mod（ q 3 （ q 2? 1））。那么对于广义的情形,也有相类似的结论。特别要说明的是,对于s = 1时曲线y q+ y = x,它的仿射自同构群会出现变异,群的阶相对来说很大。那么相应的,对于大部分的,重量为的码字个数a会被一个比较大的数整除。对于码的最小距离,Hermitian码C （ D , mP∞）的最小距离已经在[10]中具体给出。[9]中提出了拟Hermitian曲线的概念,这类曲线非常广泛,广义Hermitian曲线是其特殊情形,在文中研究了拟Hermitian码C （ D , mP∞）在m取某些值的时候,最小距离达到下界,但是没有具体的给出这样的m值,因为具体情形比较复杂,拟Hermitian曲线的内涵太广。因此在本文中对广义Hermitian码C （ D , mP∞）我们具体给出了最小距离达到下界时m所要满足的条件,并且对于重量为最小Hamming重量的码字个数,有一个上界,这样我们就对这个数值就有一个大概的估计。作为以后研究的方向,可以有如下三个方面。1,找出所有广义Hermitian码C （ D , mP∞）的自同构群。2,具体给出广义Hermitian码的重量分布。3,对所有的m值,确定其广义Hermitian码C （ D , mP∞）的最小距离。这三个方向都很有意义。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 1. 背景
• 2. 知识准备
• 3. Hermitian 码的自同构群
• 4. 广义 Hermitian 码的自同构群
• 5. 最小 Hamming 重量
• 参考文献
• 致谢