断裂问题中的哈密顿体系方法及其应用

论文摘要

随着科学技术的发展,多功能材料和智能材料越来越受到关注。电磁材料就是其中一种。利用这些材料的性质,许多智能结构及产品被用于工程结构中。基于该类材料特殊的力电磁能量转换特性,许多仪器和设备被设计,并在实际工程中得到广泛应用,如石油,化工,航空航天,军事,制造业,以及核工业等。这些仪器和设备在实际运行中,往往会受到力、电、磁、热耦合荷载作用。此外,由于受制造和运行环境的影响,会导致裂纹的出现,如疲劳裂纹等。裂纹往往会造成结构直接破坏和失效,因此,对其研究是完全必要的。特别是对精密仪器设备中的功能材料（如电磁材料等）和结构的断裂行为研究尤为重要。研究和揭示材料和结构的断裂机理有利于提高设计和制造水平,由此可以有效的减少事故发生,并尽可能地延长设备的使用寿命。然而,研究该类问题需要系统的考察力电磁热相互作用效应和工况环境。虽然目前有很多相关的理论和方法,但仍需完善和改进,特别是对相关电磁材料的断裂行为研究方法等。从现有的方法看,其中大部分皆基于拉格朗日体系下的一类变量的控制方程。由此将面对高阶微分方程的求解和数值处理方法,这就给问题求解带来了相当的困难。可喜的是钟万勰院士首次将哈密顿体系引入到弹性力学和应用力学中,开创了一种全新的理念和方法,并建立了基于哈密顿体系的研究问题平台。在钟院士的带领下,他的科研团队对许多领域和研究方向系统和深入的展开探讨,并取得丰硕的研究成果。这些研究成果也为本论文的研究提供基础和依据。本博士论文以带有边缘裂纹的弹性材料、压电材料和电磁弹性材料为研究对象,对裂纹尖端的奇异性和强度因子进行系统分析。并利用辛本征解展开方法和辛共轭正交关系,得到对偶变量和强度因子的解析表达式。该方法能克服传统半逆法的弱点,给出一种直接方法和系统方法。取得的研究结果为人们研究断裂问题提供了全新的认识。具体研究成果如下：1.平面和空间弹性体的应力强度因子研究在哈密顿体系下,位移和广义应力互为对偶变量。通过研究以混合变量描述的对偶正则方程,得到含断裂问题的辛本征解。在辛空间中构造出完备的辛本征解空间。哈密顿体系下的辛本征解可以分为两类：零本征值本征解和非零本征值本征解。零本征值本征解即是该问题对应的圣维南问题的解,代表了该问题对应的等效边界条件意义下的解。非零本征值本征解则包括圣维南原理所覆盖的解,即体现边缘效应和局部效应的解。研究工作以平面问题作为突破口,进而在空间问题展开。由于辛本征解之间存在辛共轭正交关系,问题的解可由辛本征解得展开得到,从而获得问题解得解析表达式。应力强度因子和T应力可由特殊的辛本征解和其系数直接表示。进一步利用边界条件和辛共轭正交关系,可确定所有展开级数的系数。这样Ⅰ型,Ⅱ型和Ⅲ型应力强度因子（KⅠ, KⅡ, KⅢ）同时被直接得到。此直接方法突显出更加方便和有效。利用边界积分等手段,将圆形外边界拓宽到非规则边界的裂纹问题,直接得到的半解析结果和数值结果。研究工作为进一步讨论动力问题提供了依据和基础。这些研究成果已经发表在Engineering Fracture Mechanics （2009,76（12）:1866-1882）, International Journal of Mechanical Sciences （2010,52（7）:892-903）和Journal of Sound and Vibration （2011,330:1005-1017）。2.含边缘裂纹压电材料的力/电强度因子和奇异性分析将哈密顿体系求解方法应用于含边缘裂纹压电材料奇异性分析中。以—空间坐标模拟时间,采用弹性势能（应变能）和压电能表示拉格朗日函数和变分原理,得到广义位移（位移和电势）和广义应力（应力和电位移）的对偶关系。利用哈密顿原理构造出以广义位移和广义应力混合变量描述的对偶正则方程。利用哈密顿体系很好的性质和现代数学工具对含边缘裂纹压电材料问题展开研究和讨论。分析电可渗透和电不可渗透裂纹在尖端处的奇异性,并得到应力强度因子和电位移强度因子以及影响因素。结果表明,对于电可渗透裂纹,电场强度因子始终为零,即电场在裂纹尖端不存在奇异性；应变强度因子与材料常数无关,只与外边界荷载工况有关；应力强度因子和电位移强度因子可以用材料常数与广义位移强度因子的线性组合表示。相关成果已经发表在International Journal of Solids and Structures （2009,46（20）:3577-3586）。3.含边缘裂纹电磁弹性材料的耦合强度因子研究构造含边缘裂纹电磁弹性材料问题的哈密顿体系结构,研究Ⅲ型裂纹问题的断裂行为。该类问题可归结为反平面问题。在哈密顿体系下,轴向位移与剪应力、电势与电位移、磁势与磁感应强度分别互为对偶变量。以这些变量和对偶变量组成的混合变量描述的基本问题对研究混合边界条件问题非常直接和特别有效。在得到辛本征解空间以后,将应力强度因子,电位移强度因子和磁感应强度因子等问题归结为线性代数方程组求解的问题。在此基础上,对电磁可渗透和电磁不可渗透裂纹问题分别进行分析和研究。得到电磁弹性材料反平面断裂问题的解析解和一些规律。研究结果表明,广义位移强度因子与材料常数无关,只与本征值为二分之一的本征解系数有关；广义应力变量在裂纹尖端处表现出传统-0.5阶次的奇异性,并且它们对应的强度因子可直接表示为材料常数和广义位移强度因子的函数；在电磁可渗透的裂纹问题中电场强度和磁场强度不出现奇异性,即对应的强度因子为零。研究成果已经发表在Engineering Fracture Mechanics （2010, 77（16）:3157-3173）和Computers & Structures （2011,89:631-645）。4.稳态和瞬态热弹性问题中的热应力强度因子提出热传导方程和热弹性方程在空间坐标下可分离变量的哈密顿形式。研究工作分为两部分：首先在哈密顿体系下建立与热传导方程等价的正则方程,并求解温度场。温度场可由一系列辛本征解组合所表示,其中包括稳态和瞬态温度函数。然后利用所得的温度场构造热弹性问题的非齐次哈密顿对偶方程以及相应的初边条件。在此过程中,将时间变量只作为一个“空间坐标”,而将一空间坐标模拟为“时间坐标”。这样,提出个全新地考虑问题思路。在这种观念下对问题求解,得到对应的辛本征解,即齐次正则方程的通解和非齐次方程特解。通过对解析解和数值结果的分析,得出结论：热应力问题的裂纹尖端奇异指数为-0.5；应力强度因子直接由第一阶非零本征解和温度函数表示和确定；最大热应力发生在裂纹尖端区域,并且成指数向外衰减。研究结果发现：在一定的温度环境下,热应力强度因子随裂纹长度增大而变小的现象。也就是裂纹会出现止裂的结果。这种现象对于工程设计和工程设备寿命评估是非常重要。根据这些研究工作,已经连续两篇文章发表在Journal of Thermal Stresses （2010,33（3）:262-278; 2010,33（3）：279-301）。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 选题背景
• 1.2 断裂分析研究现状
• 1.2.1 线弹性材料断裂问题研究现状
• 1.2.2 压电材料断裂问题研究现状
• 1.2.3 磁电弹性材料断裂问题研究现状
• 1.2.4 热应力断裂问题研究现状
• 1.3 辛对偶体系研究现状
• 1.4 本文主要工作
• 2 二维弹性材料断裂问题
• 2.1 基本问题和基本方程
• 2.2 哈密顿体系和正则方程
• 2.3 辛本征解和辛共轭正交归一关系
• 2.4 哈密顿体系下侧边条件
• 2.5 辛本征值及其本征解
• 2.5.1 零本征值问题中的本征解及约当型本征解
• 2.5.2 非零本征值及其本征解
• 2.6 非齐次哈密顿正则方法的特解
• 2.7 外边界条件
• 2.7.1 圆形外边界条件
• 2.7.2 非规则形状外边界条件
• 2.8 应力强度因子和开裂角
• 2.9 数值结果
• 2.9.1 多种荷载作用下的弹性楔
• 2.9.2 带有径向边裂纹的弹性圆盘的应力强度因子
• 2.9.3 矩形外边界的带有边裂纹弹性体的应力强度因子
• 2.10 小结
• 3 三维弹性材料断裂问题
• 3.1 三维弹性力学基本方程
• 3.2 三维哈密顿体系和对偶方程
• 3.3 哈密顿体系下的裂纹边界条件
• 3.4 辛本征值及其本征解
• 3.4.1 零本征值及其约当型
• 3.4.2 非零本征值本征解
• 3.5 圆柱外边界条件
• 3.6 应力强度因子和T应力
• 3.7 数值结果
• 3.8 小结
• 4 压电材料反平面问题的断裂问题
• 4.1 基本问题的描述
• 4.2 压电材料的哈密顿正则方程
• 4.3 压电材料的裂纹条件
• 4.4 零本征值及其本征解
• 4.5 非零本征值本征解
• 4.5.1 电绝缘裂纹对应的非零本征值本征解
• 4.5.2 电渗透裂纹对应的非零本征值本征解
• 4.6 外边界条件
• 4.7 反平面压电断裂的强度因子
• 4.7.1 电绝缘裂纹对应的强度因子
• 4.7.2 电渗透裂纹对应的强度因子
• 4.8 数值结果
• 4.8.1 电绝缘裂纹算例
• 4.8.2 电渗透裂纹算例
• 4.9 含裂纹的压电材料的止裂应用
• 4.10 小结
• 5 双压电材料结合体反平面问题分析
• 5.1 基本问题和基本公式
• 5.2 辛体系和哈密顿对偶方程
• 5.3 辛共轭正交归一关系
• 5.4 零本征值本征解
• 5.5 非零本征值本征解
• 5.6 应力和电场奇异性
• 5.7 双压电材料的外边界条件
• 5.8 数值结果
• 5.9 小结
• 6 磁电弹性材料反平面断裂问题
• 6.1 基本问题和基本方程
• 6.2 哈密顿系统和对偶方程
• 6.3 零本征值本征解
• 6.4 非零本征值本征解
• 6.4.1 裂纹条件（A）对应的本征解
• 6.4.2 裂纹条件（B）对应的本征解
• 6.4.3 裂纹条件（C）对应的本征解
• 6.4.4 裂纹条件（D）对应的本征解
• 6.5 外边界条件
• 6.6 磁电弹性材料反平面断裂的强度因子
• 6.6.1 裂纹条件（A）对应的强度因子
• 6.6.2 裂纹条件（B）对应的强度因子
• 6.6.3 裂纹条件（C）对应的强度因子
• 6.6.4 裂纹条件（D）对应的强度因子
• 6.7 数值结果
• 6.8 小结
• 7 多种电磁弹性材料结合楔体的反平面问题分析
• 7.1 基本问题和基本公式
• 7.2 哈密顿体系和正则方程
• 7.3 辛共轭正交归一关系
• 7.4 本征值和本征解
• 7.5 单一材料电磁弹性楔体的奇异性
• 7.6 多种电磁弹性材料结合楔体的奇异性
• 7.7 数值结果
• 7.8 小结
• 8 稳态热应力断裂问题
• 8.1 稳态热传导基本问题
• 8.2 稳态热传导的哈密顿体系以及本征解
• 8.3 热弹性理论的基本方程
• 8.4 哈密顿体系及对偶方程
• 8.5 热弹性问题的本征值和本征解
• 8.6 哈密顿体系下的热弹性问题的外边界条件
• 8.7 热弹性问题的特解
• 8.8 热弹性问题中的热应力强度因子
• 8.9 数值结果
• 8.10 小结
• 9 辛方法在核工业中的应用
• 9.1 核工业的热裂纹问题
• 9.2 瞬态热传导问题
• 9.3 热冲击下的热弹性问题的解
• 9.4 热应力强度因子
• 9.5 数值结果
• 9.6 核反应堆冷却泵热裂纹分析
• 9.7 小结
• 10 结论与展望
• 10.1 结论
• 10.2 展望
• 创新点摘要
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表学术论文情况
• 致谢
• 作者简介