论文摘要
虚拟区域法是计算偏微分方程数值解的一种有效方法,它把实际的求解区域延拓到所求物体内部（或外部）的所谓虚拟区域,形成一个简单的辅助求解区域,其上可以采用相对结构化的网格,如均匀划分的矩形网格,因而在其上可应用基于规则网格上发展的求解偏微分方程的快速算法。基于这一思想各国学者针对不同的物理问题构造了各自的虚拟区域法,其中相对流行的主要有:基于Lagrange乘子的虚拟区域法和浸入边界法。本文围绕这两类流行的虚拟区域法在算法理论及数值模拟应用两方面对若干问题进行了研究。在虚拟区域法算法理论方面,本文围绕浸入边界法,进行了近似解存在性问题的研究。针对二维热传导方程浸入边界法的近似解存在性问题,本文利用泛函分析不动点定理及抽象空间的常微分方程解的存在性定理,对近似解的存在性给出了数学证明。对于Navier-Stokes方程浸入边界法的近似解的存在性问题,由于方程的非线性及缺乏N-S方程的正则性理论,使得问题难于解决。本文利用具有空间周期边界条件的N-S方程的性质证明了N-S方程浸入边界法的近似解的存在性。这一工作使浸入边界法的数学理论更加完善。在虚拟区域法应用方面,对与数值模拟相关的若干问题进行了研究。首先,在对浸入边界法阐述的基础上,对典型的流动问题进行了具体的数值模拟;并且利用浸入边界法的边界处理技术,对基于边界Lagrange乘子的虚拟区域法作了改进,有效地避免了与网格不相容的边界积分运算的困难,方法结构简单且易于编程。文中给出了数值模拟过程,并用算例对方法进行了验证。其次,提出了引入虚拟边界条件控制虚拟流动的方法。分析了用基于Lagrange乘子的虚拟区域法数值求解时,翼型后缘存在的奇异问题。为了保持直角坐标网格结构简单及可利用快速算法的特点,通过引入虚拟边界条件控制虚拟流动以处理出现的奇异问题。基于这一思路,成功地用虚拟区域法数值模拟了翼型不可压对称绕流;并把方法推广应用到管壁流动的数值模拟,并给出了喷管内流场的算例。数值实验表明,虚拟边界条件的引入有助于控制Lagrange乘子的变化,从而改善数值模拟的精度。接着,本文将虚拟区域法与POD方法相结合,进行了反设计问题的尝试性研究。基于虚拟区域法的POD降阶求解方法,在通过变动物体外形构成快照时,由于采用了虚拟区域法,使所求得的样本解都在同一规则的虚拟区域上,既能保持网格拓扑的一致性,又能确保网格点空间位置的一致性,从而使所得降阶模型有利于反设计。本文以二维不可压绕流模拟为例,进行了反设计的尝试,展示出所得降阶模型有利于反设计。最后,本文将发展的虚拟区域法用于求解目标散射场问题。采用精确控制方法,目标散射场问题的求解涉及波动方程的求解。本文在波动方程的求解中引入了发展的虚拟区域法,文中研究和推导了计算公式,给出了具体的实施过程。与原算法相比,改进后的算法结构更简单,有助于减少计算量。