对流扩散方程的高精度有限差分方法

论文摘要

对流扩散方程作为流体力学中的基本方程之一,目前求解的数值方法有很多,主要包括有限单元法、有限体积法、有限分析法和有限差分法。其中,有限差分法作为一种重要的数值离散方法,在科学研究和工程计算中都得到了广泛的应用。而在有限差分法中,高精度有限差分方法又以其涉及网格点少、边界无需特殊处理、具有较高的计算精度等优点,成为学者们争相研究的热点问题。本文首先分析了高精度差分格式的研究意义、国内外的研究现状、研究过程中存在的一系列问题和发展的趋势。然后结合均匀网格上和非均匀网格上差分算子的定义式,具体介绍了一些传统的关于对流扩散方程的差分格式和目前已经得到一定发展的主要的高精度差分格式。通过对这些差分格式的研究学习,了解了很多高精度差分格式的主要构造方法,从中也得到了一些启发。并且通过对一些差分方法的优点和局限性的分析,改进了文献中的一些高精度差分格式的构造方法,分别应用待定系数法、降维法等数学思想,给出了均匀网格上简单对流方程的一种高精度差分格式,以及非均匀网格上二维对流扩散反应方程的一种高精度紧致差分格式,并给出了相应的数值算例,证明了该格式较好的计算效果。最后简要阐述了本文的结论和创新点。

论文目录

• 致谢
• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 对流扩散方程高精度差分格式的研究意义
• 1.2 国内外研究现状
• 1.3 存在的问题
• 1.4 发展趋势
• 1.5 本文的主要内容
• 2 均匀网格上对流扩散方程的高精度差分格式
• 2.1 均匀网格上差分算子的定义
• 2.2 传统的均匀网格上对流扩散方程的差分格式
• 2.2.1 中心显式差分格式
• 2.2.2 修正中心显式差分格式
• 2.2.3 迎风差分格式
• 2.2.4 Samarskii 差分格式
• 2.2.5 指数型差分格式
• 2.2.6 隐式差分格式
• 2.2.7 Taylor 级数展开方法
• 2.3 主要的高精度有限差分方法
• 2.3.1 优化差分格式
• 2.3.2 反演差分格式
• 2.3.3 紧致差分格式
• 2.4 均匀网格上求解一维对流方程的一种高精度差分格式
• 2.4.1 差分格式的建立
• 2.4.2 稳定性分析
• 2.4.3 特例
• 2.4.4 说明
• 2.4.5 小结
• 3 非均匀网格上对流扩散方程的高精度差分格式
• 3.1 非均匀网格上的差分算子的定义
• 3.2 已有的非均匀网格上对流扩散方程的差分格式
• 3.2.1 基于非均匀网格上的经典差分格式
• 3.2.2 基于非均匀网格上的紧致差分格式
• 3.2.3 非均匀网格上扩散方程的优化差分格式
• 3.2.4 非均匀网格上求解非线性对流扩散方程的一种高精度差分格式
• 3.3 非均匀网格上二维对流扩散反应方程的高精度紧致差分格式
• 3.3.1 差分格式的建立
• 3.3.2 数值算例
• 3.3.3 小结
• 结论
• 参考文献
• 作者简历
• 一、基本情况
• 二、在学期间从事的科研工作
• 三、在学期间所获的科研奖励
• 四、在学期间发表的学术论文
• 学位论文数据集