论文摘要
我们主要讨论了非负矩阵、M-阵的Hadamard积与Fan积问题，以及矩阵Hadamard积的一些范数不等式．同时也讨论了逆M-矩阵、零模式不变矩阵、符号模式矩阵、k-幂等阵和符号k-幂等阵等特殊矩阵的相关问题．这些成果与M．Fiedler、R．A．Horn、R．Mathias、R.Bhatia、C．Davis、M．D．Choi、C．Eschenbach、M．Jeter和W.Pye的工作密切相关．1．非负矩阵的Hadamard积令A=(aij)和B=(bij)都为非负矩阵，及D1=diag(aii)和D2=diag(bii)．我们给出了A和B的Hadamard积的谱半径ρ（A （?）B）的精确上界．特别地，如果A和B的主对角元素都非零，则其中JA=D1-1（A-D1）和JB=D2-1（B-D2）．2．M-阵的Hadamard积与Fan积令A=(aij)和B=(bij)都为非奇异M-阵，及D1=diag(aii)和D2=diag(bii)．我们给出了A和B的Fan积的最小特征值τ（A*B）以及A和B-1的Hadamard积的最小特征值τ(A（?）B-1)的精确下界，得到了如下结论：及其中SA=D1-1（D1-A）和SB=D2-1（D2-B）．3．矩阵Hadamard积的范数不等式令Cn和Rn+分别为n×n复矩阵和非负矩阵的集合，及‖·‖F为Frobenius范数．我们首先刻画了满足下列条件的酉不变范数‖·‖：对任意[aij]∈Cn，‖[aij]‖=‖[|aij|]‖．然后我们证明了：令‖·‖为矩阵范数，则对所有X∈Rn+及A，B∈Cn，当且仅当范数‖·‖满足而且，如果A，B，X∈Cn，则对任意酉不变范数‖·‖，其中|A|=（A*A）1/2．这些结果与R.A．Horn和R．Mathias及R．Bhatia，C．Davis和M．D．Choi的工作密切相关．4．逆M-阵与零模式不变阵我们知道逆M-阵为非负零模式不变阵．首先我们通过考虑零模式不变阵来刻画了逆M-阵的一般结构．接下来我们考虑了每行最多只有三个非零元素的非负阵，给出了这类矩阵为逆M-阵的充分必要条件．这样我们也得到了特殊矩阵即Triadic阵A为逆M-阵的充要条件．特别地，如果这样的矩阵A也为（0，1）-阵，则A为逆M-阵当且仅当A为非奇异的零模式不变阵．另外也考虑了逆M-阵的Hadamard积的一些性质．5．幂等符号模式阵我们说明了并不是所有的幂等符号模式阵都相似于非负矩阵，然后给出了两类相似于非负矩阵的幂等符号模式阵，并回答了C．Eschenbach提出的一个公开问题．6．具有负元素的k-幂等阵令K（A）表示与实矩阵A的符号模式一致的实矩阵集合．我们刻画了具有下列性质的实k-幂等矩阵A的结构：对任意的X∈K（A），Xk+1∈K（A），其中A没有零行、零列．进一步地有，我们刻画了允许k-幂等性的符号k-幂等阵．这样，作为我们的推论，C．Eschenbach关于允许幂等性的幂等符号模式阵的公开问题得到了回答．
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