抛物方程的有限差分区域分解算法

论文摘要

在自然科学的许多领域中，很多现象是用抛物型方程或者方程组来描述的，如描述热传导、扩散等物理现象的热传导方程就是最典型的抛物型方程。用最传统的有限差分方法来求解这样的抛物型方程，经受着越来越大规模计算的考验。因此，将求解的区域划分为若干小的子区域，用并行有限差分方法来求解抛物型问题具有重要的理论意义和应用价值。本文首先对区域分解算法给出一个简要的介绍。区域分解算法是上个世纪八十年代崛起的新方向，它是并行求解大型偏微分方程的有效方法。区域分解算法特别受关注是因为它具有其它方法无法比拟的优越性。区域分解算法目前仍处于发展阶段，美国、苏联、法国、意大利都形成了自己的流派。根据对求解区域的不同剖分，形成不同的区域分解算法，例如不重叠区域分解算法、重叠区域分解算法、虚拟区域法、多水平方法等等。许多物理和力学的问题都可归结为抛物型方程的求解，上个世纪九十年代以来，抛物方程有限差分区域分饵算法得到了发展。C．N．Dawson,Qiang Du和T．F．Dupont，袁光伟、沈隆军和周毓麟，张宝琳，万正苏等人先后都对抛物方程作了比较详细和深刻的研究。最后，简要的介绍了我们给出的抛物方程的区域分解算法。一维抛物方程：其中u是抛物方程的解。在给出Dawson等人抛物方程算法的基础上，文章针对抛物方程提出一种新的高精度的区域分解方法，在时间上采用有限差分，在空间上，对求解区域进行剖分，从而形成多个子区域，在子区域的内边界点上关于x的二阶偏导数利用空间大步长Du Fort-Frankel格式，在子区域的内点采用三点中心差分全隐式格式，并对此进行并行化实现和分析。我们构造的格式具有良好的稳定性。下面给出算法：算法：本文针对上述算法进行稳定性和收敛性进行理论分析和数值算例的模拟。充分证明了此算法是一个具有并行本性的差分格式，而且还具有与全隐格式相同的二阶精度。当网格比很大时，此算法格式仍然比较稳定。这比较适合大型科学工程计算的要求．二维抛物方程：其中u是抛物方程的解，且△u=（?）2u／（?）x2+（?）2u／（?）y2，Ω=（0，1）×（0，1）．将在一维得到的格式推广到二维，得到一个新的二维有限差分显式格式，发展了新的算法。算法：此算法格式仍然是一个具有良好稳定性的并行本性的差分格式。全文共四章，组织结构如下：第一章为引言，简要介绍了区域分解算法的发展和热传导方程有限差分区域分解算法的概况以及本文所讨论的基本内容。在第二章，我们首先给出Dawson和盛志强等人的内边界点处理方法，得到关于求解一维常系数抛物方程区域分解算法的误差估计。在给出Dawson等人抛物方程算法的基础上，本文针对抛物方程提出一种新的高精度的区域分解方法，在时间上采用有限差分，在空间上，对求解区域进行剖分，从而形成多个子区域，在子区域的内边界点上关于x的二阶偏导数利用空间大步长Du Fort-Frankel格式，在子区域的内点采用三点中心差分全隐式格式，并对此进行并行化实现和分析。我们构造的算法格式具有良好的稳定性和具有与全隐格式相同的二阶精度。最后证明了这些很好的性质。第三章研究了二维抛物问题。我们首先将在一维得到的格式推广到二维，得到一个新的二维有限差分显式格式，它和全隐格式有相同的精度，在时间上采用有限差分，在空间上，对求解区域进行剖分，从而形成多个子区域，在子区域的内边界点上关于x的二阶偏导数利用空间大步长Du Fort-Frankel格式，在子区域的内点采用三点中心差分全隐式格式，并对此进行并行化实现和分析。对二维抛物问题设计了一个区域分解算法。它的稳定性条件和精度仍然很好。第四章我们提供了一些数值实验的结果，并且考察了新算法对一定测试问题的稳定性、精度以及并行性。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 引言
• 1.1 区域分解算法概述
• 1.2 抛物方程区域分解概述
• 第二章 一维抛物方程有限差分区域分解算法
• 2.1 Dawson等人的算法和结果
• 2.2 一维抛物方程有限差分区域分解算法
• 2.3 算法格式稳定性分析
• 第三章 二维抛物方程有限差分区域分解算法
• 3.1 Dawson等人的算法和结果
• 3.2 二维抛物方程
• 第四章 数值实验及结果分析
• 参考文献
• 致谢
• 学位论文评阅及答辩情况表