论文摘要
Li，Shiu和Chang（The number of spanning trees of a graph，Appl.Math.Lett.，2010，23:286-290）得到了图的生成树数目的一些上界.在本文的第二章中，我们研究连通图的Laplace特征多项式系数关于连通度，边连通度和色数的上界，并给出达到这个上界时图的结构.因为图的生成树的数目完全由图的某一个Laplace特征多项式系数决定，所以我们的结果是Li，Shiu和Chang的结果的推广.Zhou和Gutman（A connection between ordinary and Laplacian spectra of bipartitegraphs，Linear Multilinear Algebra，2008，56:305-310）得到了偶图的Laplace特征多项式与它的剖分图的特征多项式之间的关系.在本文的第三章中，我们考虑一般的连通图的Laplace特征多项式与它的剖分图的特征多项式之间会有什么关系，我们的工作是发现这两个多项式的系数是否以及何时存在差别，并刻画系数差的表达式.研究过程中，我们发现图的无符号Laplace特征多项式是一个重要的桥梁.于是我们对其系数也进行研究，得到一种新的方法证明图的无符号Laplace特征多项式系数的组合解释.
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