黎曼流形上的曲线收缩流

论文摘要

“几何流”是运用分析方法研究几何对象如何按照一定方式形变的数学分支。从上个世纪八十年代起,她一直都是几何分析领域的研究热点之一。近些年来,这一分支不断有重大成果出现。其中最为轰动一时的是,2003年,俄罗斯青年数学家Perelman在网上公布了三篇相关论文;专家们认为他很可能在这一系列文章中成功地利用Ricci-Hamilton流解决了Poincare′猜想。这无疑是本世纪迄今为止最振奋人心的消息之一!它极大地激发了人们研究几何流的热情。我们的工作正是在这样一个时代背景下完成的。本文讨论的是另外一个重要的几何流――平均曲率流,即子流形上各点的瞬时速度为该点处的平均曲率向量场。囿于问题的难度和作者目前的水平,我们只研究了一般黎曼流形上的曲线按平均曲率流方式的运动。对于这样一种特殊的平均曲率流,我们习惯上称之为“曲线收缩流”,简称曲线流。曲线流有着非常广泛的应用。它不仅出现在经典微分几何中,――例如寻找曲面上的闭测地线以及与此相关的极小曲面问题,而且出现在很多物理模型中,――例如冰块消融、晶体生长。近些年来,曲线流还被应用于一个新兴领域――图象处理;它提供了一种非常有效的方法来还原物体的轮廓。曲线流的研究历史相对来说是比较短的,然而它的发展却是相当快的。最早的时候,Gage,Hamilton,Abresh,Langer,Grayson等人研究了欧式平面上的曲线流。他们的工作解决了与平面嵌入曲线有关的Jordan猜想。后来,Altschuler和Grayson合作研究了三维欧式空间中的曲线流。正是这些人的不懈努力使得在短短的二十年中曲线流积累了丰硕的成果。我们在前人出色的工作之上,进一步发展了一般黎曼流形上的曲线流的理论。在本文中,我们从曲线长度的一阶变分出发引入了曲线流的概念,并指出它是一种特殊的平均曲率流。然后在假定底流形满足适当的曲率条件后,我们证明了经典的Bernstein型估计。利用这一估计,我们证明了紧致黎曼流形上整体曲线流的收敛性。之后,我们引进了“斜坡曲线”的概念,并证明了斜坡曲线流的整体存在性。这使得我们可以通过构造斜坡曲线流来给出Lyusternik-Fet定理一个颇为有趣的证明。最后,作为一个具体的例子,我们详细分析了S3（1）上的曲线流。

论文目录

• 第1章 引言
• 1.1 选题背景及意义
• 1.2 国内外研究动向
• 1.2.1 嵌入曲线流
• 1.2.2 奇异性分析
• 1.2.3 自相似解
• 1.3 本文的主要工作
• 1.4 本文的结构安排
• 第2章 曲线流的定义及基本性质
• 2.1 曲线流的定义
• 2.2 一些基本性质
• 第3章 Bernstein型估计
• 3.1 Bernstein型估计
• 3.2 定理3.1之证明
• 3.2.1 基本计算
• 3.2.2 情形l = 1
• 3.2.3 情形l = 2
• 3.2.4 一般情形
• 第4章 整体流的收敛性
• 4.1 收敛性定理
• 4.2 几个引理
• 4.3 定理4.1之证明
• 第5章 斜坡曲线流
• 5.1 斜坡曲线的定义
• 5.2 斜坡曲线流的性质
• 第6章 Lyusternik-Fet定理
• 6.1 几个预备引理
• 6.2 定理6.1之证明
• 3（1）上的曲线流'>第7章 S³（1）上的曲线流
• 7.1 一些基本方程
• 7.2 一个初值问题
• 第8章 结论
• 参考文献
• 致谢与声明
• 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果