有理Bézier曲线表示圆和圆柱螺旋线

论文摘要

作为CAD系统国际工业标准之一的有理Bézier曲线在计算机辅助几何设计（CAGD）,计算机图形学（CG）和几何造型（GM）等应用领域中都具有非常重要的作用。而圆弧曲线在几何外形设计和机器制造中应用非常广泛。本文主要研究了如何用有理Bézier曲线表示圆弧中的圆及圆柱螺旋线。 本文首先对Bézier曲线和有理Bézier曲线的发展、基本概念及性质作了比较简短的概括性介绍。指出多项式的Bézier曲线不能精确的表示圆弧,只能用逼近的形式,给出近似表示,既使造型不便又产生实际误差,而有理Bézier曲线不仅克服了这些不足,可以精确的表示圆弧及整圆,将规则曲线与曲面和自由曲线与曲面统一在一起,使算法统一,数据库统一,而且增强了曲线、曲面设计和表示的灵活性。由于圆柱螺旋线是非有理的,因此有理Bézier曲线可以精确的表示圆,却无法精确的表示圆柱螺旋线。圆柱螺旋线是唯一的一种既保持曲率常量,又保持扭矢常量的空间曲线,可以看作是其中任一小段的无限自我复制。因此只要用有理Bézier曲线逼近描述其中一小段弧线即可,本文提出了一种新的逼近方法,大大减小了误差。 在有理Bézier曲线表示圆的研究中,本文首先介绍了有理二次Bézier曲线只能表示圆心角小于180度的圆弧,有理三次Bézier曲线可以表示圆心角小于240度的圆弧,而有理四次Bézier曲线可以表示任意圆弧,但是不能表示整圆。然后,本文证明了有理五次Bézier曲线可以精确表示整圆,并给出了表示整圆的必要条件。在对这些必要条件进行简化的基础上,求出了Bézier曲线的六个控制顶点和权值的关系。讨论了若参数区间由[0,1]扩展到（-∞,+∞）时其参数的分布情况。在参数的均匀化问题中,本文讨论了如何选取权值使参数间隔和对应的弧长的比值尽可能小,从而使曲线具有理想的参数分布。 在有理Bézier曲线表示圆柱螺旋线的研究中,本文首先介绍了已有的两种逼近方法-端点处斜率相等法和增加重合点法,这两种方法比较简单,较好的解决了圆柱螺旋线的近似表示问题,但是不能同时满足减小误差带宽和端点处斜率相等的要求。本文将这两种方法相结合,提出了一种新的逼近表示方法。这种方法利用有理二次Bézier曲线表示平面内的一条圆弧,然后将这条有理二次Bézier曲线升阶到五次,再将这条有理五次Bézier曲线在空间中匀速拉伸,使其

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 历史背景及研究意义
• 1.2 研究现状及相关工作
• 1.3 主要贡献
• 1.4 各章安排
• 第二章 基础知识
• 2.1 Bezier曲线的定义
• 2.2 有理Bezier曲线的定义和性质
• 2.2.1 有理Bezier曲线的定义和相关性质
• 2.2.2 有理Bezier曲线的升阶
• 2.3 空间圆柱螺旋线的基本特点
• 第三章 有理Bezier曲线表示圆弧及整圆
• 3.1 低于五次的有理Bezier曲线表示圆弧的情况
• 3.2 有理五次Bezier曲线可以表示整圆
• 3.2.1 整圆的有理五次Bezier曲线表示
• 3.2.2 关于参数区间的问题
• 3.2.3 关于参数均匀化的问题
• 3.3 本章小结
• 第四章 有理Bezier曲线表示圆柱螺旋线
• 4.1 有理三次Bezier曲线逼近圆柱螺旋线的两种方法
• 4.1.1 端点处斜率相等法
• 4.1.2 增加重合点法
• 4.2 有理五次Bezier曲线逼近圆柱螺旋线
• 4.2.1 逼近的基本思想
• 4.2.2 参数值m和n的确定
• 4.2.3 误差分析
• 4.3 本章小结
• 第五章 总结和展望
• 参考文献
• 致谢
• 研究生期间发表论文及参与项目
• 学位论文评阅及答辩情况表