矩阵方程的约束解及其最佳逼近

论文摘要

约束矩阵方程问题广泛地应用在结构分析、控制论、振动理论、非线性规划等许多领域,关于约束矩阵方程问题的研究有着重要的理论和应用价值。本文我们研究如下问题: 问题Ⅰ 给定A,C∈Rm×n,B,D∈Rn×m,S（?）Rn×n。找X∈S,使得（AX,XB）=（C,D）; 问题Ⅱ 给定A,C∈Rm×n,B,D∈Rn×m,S（?）Rn×n。找X∈S,使得‖AX-C‖2+‖XB-D‖2=min; 问题Ⅲ 给定A∈Rm×n,B∈Rn×s,C∈Rm×s,S（?）Rn×n。找X∈S,使得AXB=C; 问题Ⅳ 给定A∈Rm×n,B∈Rn×s,C∈Rm×s,S（?）Rn×n。找X∈S,使得‖AXB-C‖=min; 问题Ⅴ 给定X*∈Rn×n,找（?）∈SE,使得‖（?）-X‖=（?）‖X-X*‖,这里SE分别表示问题Ⅰ,问题Ⅱ,问题Ⅲ问题Ⅳ的解集合,‖·‖表示Frobenius范数。 本文的主要结果如下: 1.当S是ACSRn×n（反中心对称矩阵）时,我们利用矩阵对的GSVD,给出了问题Ⅰ有解的充分必要条件,并在有解的条件下,给出了问题Ⅰ与问题Ⅴ的通解表达式。 2.在线性流形S={X∈ACSRn×n|‖A0X-B0‖=min,A0,B0∈Rm×n}上我们利用矩阵的SVD和Moore-Penrose广义逆研究了问题Ⅱ与问题Ⅴ,给出了它们的通解表达式和求解问题Ⅴ的数值算法。 3.当S是BSRn×n（双对称矩阵）时,我们利用矩阵的Kronecker积和广义逆给出了问题Ⅲ解存在的充分必要条件和有解时的通解表达式。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 第2章 矩阵方程（AX，XB）=（C，D）的反中心对称解及其最佳逼近
• 2.1 引言
• 2.2 问题Ⅰ的解
• 2.3 问题Ⅱ的解
• 第3章 线性流形上矩阵方程（AX，XB）=（C，D）的反中心对称最小二乘解及其最佳逼近
• 3.1 引言
• 3.2 问题Ⅰ的解
• 3.3 问题Ⅱ的解及其数值算法
• 第4章 矩阵方程AXB=C的双对称解
• 4.1 几个定义、引理
• 4.2 主要结果
• 第5章 矩阵方程AXB=C的双对称最小二乘解及其最佳逼近
• 5.1 引言
• 5.2 问题Ⅰ的解
• 5.3 问题Ⅱ的解
• 5.4 问题Ⅲ的解
• 5.5 数值算法和数值例子
• 第6章 矩阵方程AXB=C的三对角对称最小二乘解及其最佳逼近
• 6.1 引言
• 6.2 问题Ⅰ的解
• 6.3 问题Ⅱ的解
• 6.4 数值算法和数值例子
• 第7章 矩阵方程AXB=C的三对角双对称最小二乘解及其最佳逼近
• 7.1 引言
• 7.2 问题Ⅰ的解
• 7.3 问题Ⅱ的解
• 7.4 数值算法和数值例子
• 结论
• 参考文献
• 致谢
• 附录A （攻读学位期间所发表的学术论文目录）
• 附录B 几个基矩阵的编程