不连续系统的边界性质与锁相

论文摘要

缓慢变化后的突发行为普遍存在于自然和人工系统,通常由分段光滑的数学模型来描述。长期以来这方面的研究倍受非线性科学界的关注。近年来不连续保守系统成为关注的焦点。本论文研究了分段光滑的保守系统及耗散系统几个方面的特性,讨论了相关机制,获得了一些更加深入的理解。 1999年在一个一维无限深势阱中受周期性驱动粒子的不连续但可逆的二维保面积映象模型中发现了随机网结构,我们的研究表明此随机网为系统不连续边界的像集合,且显示有两种典型的精细结构:其一是在网络的某些局部,不连续边界横截同一周期链中相邻双曲不动点流形,从而使随机网对混沌扩散产生强烈抑制;其二是在网络的另外一些局部随机层中存在网孔以及其中的椭圆岛,这种局部结构具有无穷自相似性。 在一类不连续且不可逆的保面积二维映象中不连续边界的像集合在长时间极限下却成为所谓的混沌类吸引了,文献[28]报道的解析结果指出一类不连续耗散系统的边界的最初几阶像将限定混沌运动,本文为这一结论贡献一个不连续保守系统的证据。我们的数值研究发现不连续边界的1阶像一侧为轨道访问的禁区,因为该相区中任一点的两个逆都不存在,外来轨道不可能进入该相区,这正是边界像集合约束混沌运动的实质所在。禁区的像的部分成为只有一个逆的所谓逃逸区,该区实际只是禁区中的轨道逸出的通道;部分进入有两个逆的所谓耗散区。单逆区的存在是边界的前若干阶像约束混沌运动的原因。我们还观察到了混沌类吸引子与规则类吸引子的共存,它们同受边界像集合的限制。 当标准映象的强耗散极限,即一维圆映象中出现不连续性时,系统可能展示边界碰撞分岔对应的由多重魔梯（包括许多相似的塔型结构）描写的锁相行为。我们研究了一个不连续圆映象中观察到的多重魔梯的塔型结构特征,考察了决定锁相台阶的轨道与系统不连续点的四种碰撞模式,他们分别产生四类台阶:塔顶、塔底、上升枝、下降枝,各类台阶都属于不同的加周期序列。各个序列的台阶整体构成平滑曲线。这些都与不连续线性映象中观察到的多重魔梯谐和结构的特征相同。但各个平滑曲线的函数关系远比后者的W ∝oc-1/ln（ε）复杂,可以拟合成一个多项式函数。这个差异可能由分段光滑映象函数的非线性造成。本文还揭示了形成魔梯相似塔结构的机制在于参数变化时碰撞模式的循环延续。数值研究了各个序列台阶宽度随所对应轨道周期点数的增大而缩短的标度规律,结果表明是对所有序列普适的幂律△K（n）∝ n-τ（τ>0）。这与分段光滑的线性映象中的标度规律ln|△ε（n）|∝ n完全不同。这个差异也可能是由映象函数的非线性所致。

论文目录

• 前言
• 第一章 混沌理论的概述
• 1.1 什么是混沌
• 1.2 混沌运动的概述
• 1.2.1 运动的非线性
• 1.2.2 自然界中的混沌运动
• 1.3 混沌运动的一般特征
• 1.3.1 初值敏感性
• 1.3.2 吸引性和吸引子分数维
• 1.3.3 遍历性
• 1.4 不连续动力系统中的混沌运动特征
• 1.4.1 不连续映象描写的动力系统
• 1.4.2 不连续系统的混沌运动特征
• 第二章 不连续标准映象中的随机网
• 2.1 引言
• 2.2 系统
• 2.3 不连续边界像集合与随机网
• 2.4 随机网的精细结构
• 2.5 总结与讨论
• 第三章 边界像集合对不连续保守系统混沌运动的约束
• 3.1 引言
• 3.2 规则类吸引子
• 3.3 边界像集合与混沌类吸引子
• 3.4 总结
• 第四章 一个不连续圆映象中的锁相行为
• 4.1 引言
• 4.2 相关基本概念
• 4.2.1 圆映象及绕数
• 4.2.2 锁相、魔梯、多重魔梯
• 4.3 不连续区圆映象及其多重魔梯
• 4.4 锁相台阶宽度的标度规律
• 4.5 多重魔梯的复杂情形
• 4.6 总结与讨论
• 参考文献
• 附录
• 致谢