并行JACOBI方法求解矩阵奇异值的研究

论文摘要

矩阵奇异值分解作为数值计算中一个组成部分,在气象学、量子力学、生物学、医学等领域具有广泛的应用背景。其中,计算速度与计算精度是矩阵奇异值分解的两个基本问题。为了在获得较高的计算精度的同时提高奇异值分解速度,Jacobi方法成为研究的重要内容之一。Jacobi方法求解矩阵奇异值分解主要包括Jacobi平面旋转变换和相关的变换序列两个内容。为了加快Jacobi方法的收敛速度,本文分别将JRS平面旋转变换方法和动态序列作为研究重点,主要的内容包括:首先,结合JRS算法的基本原理以及相关的数学性质,设计一种新型的对矩阵进行平面旋转变换的方法JRS2。该方法与带有排序性质的变换序列相结合可以保证整个奇异值分解过程中矩阵向量范数不会出现剧烈摆动,并且最终保存奇异值的对角阵中的元素是按序排列的。其次,探索了采用JRS2平面旋转变换对矩阵进行旋转时矩阵向量范数的变化情况,揭示了松弛系数在整个分解过程中的作用,并提出新的分解算法JVRS方法。该方法可以根据矩阵中向量的变换情况对松弛系数进行调整,减少整个计算过程的迭代轮数,提高分解效率。最后,将并行双边Jacobi方法中采用的动态序列引入到单边Jacobi方法求解矩阵奇异值分解中。针对单边Jacobi求解矩阵奇异值分解方法的特点,本文采用矩阵谱范数来反映矩阵列向量之间相互正交的情况,并设计并行幂法来计算动态序列,加快对矩阵的正交化过程。本课题对于Jacobi方法求解矩阵奇异值分解问题的研究具有一定的现实意义。它对现有的Jacobi平面旋转变换的数学方法进行了扩展,加深了对Jacobi方法求解矩阵奇异值分解过程的理解。与此同时,将动态序列引入到单边Jacobi方法中,为动态序列在Jacobi方法中的应用提供了有益的参考。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 课题背景
• 1.2 课题研究内容
• 1.3 课题研究意义
• 1.4 本文组织结构
• 第二章 相关技术及研究基础
• 2.1 并行计算环境
• 2.1.1 体系结构
• 2.1.2 并行机的访存模型
• 2.1.3 编程环境
• 2.2 并行算法的设计与分析
• 2.2.1 并行算法的设计策略
• 2.2.2 并行算法的设计方法
• 2.2.3 并行算法的评估
• 2.2.4 高性能分块算法
• 2.3 本章小结
• 第三章 基于Jacobi方法的奇异值分解基本问题
• 3.1 Jacobi方法基础知识
• 3.1.1 经典Jacobi方法
• 3.1.2 单边Jacobi方法
• 3.2 数据交换序列
• 3.3 并行单边Jacobi方法
• 3.4 研究现状
• 3.5 本章总结
• 第四章 JVRS的设计与实现
• 4.1 JRS算法概述
• 4.2 JRS基本原理及相关定理证明
• 4.2.1 JRS基本原理
• 4.2.2 JRS相关定理及证明
• 4.3 JVRS的设计原理
• 4.4 JVRS算法设计
• 4.4.1 数据划分
• 4.4.2 指环序列
• 4.4.3 松弛系数的调整
• 4.5 实验结果与分析
• 4.5.1 计算环境
• 4.5.2 对照实验
• 4.6 本章小结
• 第五章 基于动态序列的POBJA的设计与实现
• 5.1 基于动态序列的Jacobi方法概述
• 5.2 基于动态序列的POBJA的基本原理
• 5.3 基于动态序列的POBJA的算法设计
• 5.3.1 并行谱范数的求解
• 5.3.2 各阶段收敛条件的判断
• 5.4 实验结果与分析
• 5.4.1 计算环境
• 5.4.2 对照实验
• 5.4.3 时间比例分析
• 5.5 本章小结
• 第六章 总结与展望
• 6.1 本文工作总结
• 6.2 展望
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表的论文
• 致谢