论文摘要
非线性强迫振动系统可能产生复杂的动力学行为,尤其是在激励力频率和原系统线性化频率之比为有理数的时候,其行为就更为复杂。随着控制参数的变化,或者出现周期解,或者出现环面解。本文研究在小幅的强迫激励下,激励力频率和原系统线性化频率之比为1:4时环面解的存在性,并初步研究了当比值为1:5时共振区域的计算。具体来说包括：在第二章中,对一个单自由度的干摩擦系统运用牛顿运动定律建立系统的运动微分方程。在物块运动速度很小且始终小于摩擦面速度的情况下,将方程展开成速度的幂级数形式。通过坐标变换以及时间的尺度变换,将方程化为复数形式。根据微分方程解对参数和初值的连续依赖性,将解展开成参数以及初值的幂级数形式,通过比较系数的方法求得方程的级数解,并以此为基础建立系统的庞加莱映射。最后根据平面映射的不动点分岔理论研究所建立的庞加莱映射,得到环面存在的理论结果,并通过数值模拟验证了理论推导。在第三章中,研究一个标准形式下的范德波尔方程,通过观察确定它将发生退化的hopf分岔,通过参数—坐标变化消除其退化性。然后按照第二章中的方法研究它的环面解。同样地,理论推导也被数值结果所验证。第四章初步研究了第二章中的干摩擦系统在1:5共振下周期五解参数区域的计算。首先给出了庞加莱映射四次项的获得程序；然后推导了平面映射在1:5共振下的庞加莱范式系数；最后详细推导了1:5共振时平面映射的极坐标形式,并介绍了在弱共振下Arnold舌的确定方法。
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