圆弧曲线的有理五次Bézier表示及代数曲线胀开采样方法

论文摘要

本文就两个方面介绍了我们的研究成果: 1.圆弧曲线的有理五次Bézier表示 Bézier曲线在计算机辅助几何设计(CAGD)及计算机辅助制造(CAM)中享有特别重要的地位,它仅由控制顶点决定用于设计既方便又直观,但它却不能表示CAGD及CAM中常用的经典二次曲线,包括圆弧曲线,因此用有理参数形式精确表示这些曲线有着非常重要的理论价值和应用价值。文[1][2]研究了有理三次及四次Bézier曲线的充要条件,并指出有理三次Bézier曲线只能表示圆心角小于240度的圆弧曲线段,有理四次Bézier曲线虽可以表示圆心角小于2π的任意圆弧曲线段,但不能表示整圆。本文给出了有理五次Bézier曲线精确表示圆心角小于2π的任意圆弧曲线段及整圆的充要条件,并证明了有理五次Bézie能表示圆心角小于2π的任意圆弧曲线段及整圆,并以实例进行了验证。 2.代数曲线胀开采样方法 代数曲曲线以方程的形式精确地表示了曲线的对象,这些曲线往往具有复杂的拓扑结构及丰富的几何形状,但不能直接参数的曲线方程很难直接绘制曲线的形状,因此代数曲线的可视化就必须对曲线进行采样,获得足够的能体现拓扑结构及几何形状的采样点。已有的采样方法主要有四种:光线跟踪法、延拓法、枚举法和粒子方法。粒子方法的精度最高,文[3]中提出的SSM方法属于粒子方法,它具有采样速度快且采样点依概率分布均匀的特点。我们对该方法进行了改进,使之更适合于多拐点及含不连通分支的代数曲线采样,即动态分裂采样,我们称之为DFS方法。这种方法对无奇点的代数曲线采样精度很高,但当曲线奇点较多或奇点重数较高时,奇点附近及较相邻近的奇点之间采样误差较大,我们引进胀开的思想:在采样之前先运用代数方法对曲线进行处理,在奇点处连续胀开,最终分开所有奇点。这样,从本质上解决在奇点处采样难的问题。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 圆弧曲线的有理五次Bézier表示
• 1.1 引言
• 1.2 有理五次Bézier曲线表示圆心角小于2π的任意圆弧的充要条件
• 1.3 有理五次Bézier曲线表示整圆的充要条件
• 第二章 代数曲线胀开采样方法
• 2.1 引言
• 2.2 胀开奇点
• 2.2.1 结点胀开
• 2.2.2 奇点连续胀开
• 2.3 采样
• 2.3.1 DFS方法
• 2.3.2 胀开采样
• 2.4 采样实例
• 参考文献
• 附录
• 致谢
• 攻读硕士期间已发表（待发表）的学术论文
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