自反射分形插值曲面的变差与计盒维数

论文摘要

变差和维数是刻画曲面粗糙程度的重要参数。本文主要讨论了网格上自反射及广义的自反射分形插值曲面(即由镜面反射构造出的分形插值曲面)的变差与计盒维数。由于分形曲面插值函数是二元连续函数,所以我们研究了二元连续函数的振幅与变差的性质。对于二元连续分形插值函数(它的图即为分形插值曲面),给出了其变差的估计,并根据连续函数的变差与其图像计盒维数之间的关系,得出了这类自反射分形插值曲面的计盒维数的准确值。通常在文献中考虑的是等距插值,即剖分网格横向与纵向都是等距的情况,而实际应用中不等距插值更具一般性。在第五章中,作者在此基础上推广了这一方法,考虑了插值节点对矩形区域是任意分割的情况,给出了由此得到的广义自反射分形插值曲面存在性、唯一性和连续性的证明。另外,本章还研究这类分形插值曲面的变差,并利用变差的方法得到这类分形插值曲面的计盒维数。第一章绪论中我们简单回顾了分形几何的产生、发展,并概括了本课题的研究现状和本文研究的主要内容。第二章我们主要讨论了分形的基本理论与基础知识,包括几种常见的维数,迭代函数系和分形插值理论。第三章我们主要研究分形插值函数的变差及其性质和它与计盒维数之间的关系。第四章我们利用变差的性质研究了自反射分形插值曲面的计盒维数。第五章我们研究了广义的自反射分形插值曲面的构造、变差及其计盒维数。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• §1.1 分形理论的产生与发展
• §1.2 本课题研究现状及本文研究的主要内容
• 第二章 分形基本理论与基础知识
• §2.1 维数
• 2.1.1 Hausdorff维数
• 2.1.2 计盒维数
• 2.1.3 函数图像的维数
• §2.2 迭代函数系
• 2.2.1 迭代函数系的基本概念
• 2.2.2 自相似集和自仿射集
• §2.3 分形插值理论
• 2.3.1 分形插值曲线
• 2.3.2 自仿射分形插值函数的计盒维数
• 2.3.3 矩形域上的分形插值曲面
• 第三章 连续函数的变差
• §3.1 一元连续函数的变差及其性质
• §3.2 分形插值曲线的计盒维数
• 3.2.1 分形插值函数的δ-变差的性质
• 3.2.2 变差与分形插值曲线维数的关系
• §3.3 二元连续函数的变差及其性质
• §3.4 分形插值曲面的计盒维数
• 第四章 自反射分形插值曲面的变差与计盒维数
• §4.1 引言
• §4.2 自反射分形插值曲面的变差
• §4.3 自反射分形插值曲面的计盒维数
• 第五章 广义的自反射分形插值曲面的构造、变差及其计盒维数
• §5.1 引言
• §5.2 广义的自反射分形插值曲面的构造
• 5.2.1 主要结论
• 5.2.2 定理的证明
• §5.3 广义的自反射分形插值曲面的计盒维数
• 5.3.1 广义的自反射分形插值曲面的变差
• 5.3.2 广义的自反射分形插值曲面的计盒维数
• 结束语
• 参考文献
• 致谢
• 在校期间发表论文