收缩和扩张Krylov子空间方法

论文题目: 收缩和扩张Krylov子空间方法

论文类型: 博士论文

论文专业: 计算数学

作者: 林依勤

导师: 曹志浩

关键词: 扩张子空间,扩张过程,方法,方法,过程,调和,过程,向量,调和值,调和向量,最小残量方法,完全正交化方法,方程,广义方程

文献来源: 复旦大学

发表年度: 2005

论文摘要: 本文研究解大规模稀疏线性方程组的收缩和扩张Krylov子空间方法。在科学计算中,尤其是在解大规模稀疏线性方程组时,Krylov子空间方法显示出与众不同的有效性。当矩阵是对称正定时,常用的方法是具有短递推的共轭梯度方法(CG)。但是在许多情况下,系数矩阵不是对称的,这时常用的方法中有完全正交化方法(FOM)和广义最小残量方法(GMRES)。矩阵的非对称性导致这两种方法不具有短递推的性质。由于存储量和计算量的限制,这两种方法通常需要重开始。研究表明,如果系数矩阵具有模很小的特征值,那么Krylov子空间方法一般会收敛得比较慢。对重开始方法来说,Krylov子空间维数比较小,有时并不含有跟模很小的特征值对应的特征向量,或者不含有相应的好的近似向量。因此,重开始方法收敛得更慢,甚至会停滞。收缩和扩张的Krylov子空间方法正是因为这个原因而被研究者提出来。其基本思想是用跟模最小的特征值对应的近似特征向量扩张Krylov子空间,以达到收缩小特征值,从而加快收敛速度的目的。本文对收缩和扩张Krylov子空间方法作了全面的介绍,并研究了它们的收敛性。本文根据前人的思想提出了解广义Sylvester方程的完全正交化方法和最小残量方法。在此基础上把重点放在应用收缩和扩张Krylov子空间技术于Sylvester方程和广义Sylvester方程。近年来,许多人对如何快速求解这两个方程作了深入的研究,提出了不同的方法。但是据作者所知,本文提出的方法应该是解Sylvester方程和广义Sylvester方程的第一个加速方法。本文所使用的近似解空间是由两个扩张的Krylov子空间作Kronecker积得到的子空间。解空间的基表示为这两个扩张的Krylov子空间的基的Kronecker积,称为Kronecker乘积基。这种方法在具有加速收敛的同时,也比应用于线性方程组的通常的扩张Krylov子空间方法需要少很多的存储量。非常适合大规模Sylvester方程和广义Sylvestcr方程的求解。

论文目录:

第一章前言

第二章 Arnoldi过程及其相关的方法

§2.1 Arnoldi过程(Arnoldi Process)

§2.2 完全正交方法(FOM)和广义最小残量方法(GMRES)

§2.3 求近似特征值和近似特征向量的方法

第三章扩张的Arnoldi过程及相关算法

§3.1 扩张的Arnoldi过程

§3.2 往Krylov子空间加Ritz向量和调和Ritz向量的方法

§3.2.1 加入近似特征向量的扩张GMRES方法(GMRES-E)

§3.2.2 隐式重开始完全正交化方法(FOM-IR)和广义最小残量方法(GMRES-IR)

§3.2.3 收缩重开始完全正交化方法(FOM-DR)和广义最小残量方法(GMRES-DR)

§3.2.4 扩张Krylov子空间方法不同实现方式的比较

第四章扩张Krylov子空间方法的基本理论

§4.1 扩张Krylov子空间方法的收敛性

第五章应用到Sylvester方程和广义Sylvester方程

§5.1 应用到Sylvester方程

§5.1.1 解矩阵方程组和Sylvester方程的全局收缩方法

§5.1.2 正交残量方法和最小残量方法的推导

§5.1.3 子空间的选择

§5.1.4 正交残量方法和最小残量方法的实现

§5.1.5 正交残量方法和最小残量方法的收敛性分析

§5.1.6 加入近似特征向量的最小残量方法(SYL-MR-E)

§5.2 应用到广义Sylvester方程

§5.2.1 正交残量方法和最小残量方法的实现

§5.2.2 正交残量方法和最小残量方法的收敛性分析

§5.2.3 加入近似特征向量的最小残量方法(GSYL-MR-E)

第六章数值实验

§6.1 解线性方程组Ax=b的数值实验

§6.2 解Sylvester方程的数值实验

参考文献

论文独创性声明

论文使用授权声明

发布时间: 2005-09-19

参考文献

[1].求解大规模非对称矩阵特征值问题的一些数值算法[D]. 吴钢.复旦大学2004

收缩和扩张Krylov子空间方法

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