组合三角中的单峰型问题

论文摘要

单峰型问题是组合学中基本的研究课题之一，其内容包括单峰性、对数凹性、对数凸性、强q-对数凹性和PF性质的研究等.组合学中常见的三角序列有Pascal三角等.本文主要研究了组合学中常见的三角序列中的单峰型问题.具体内容如下.第一部分研究Pascal三角中截线上的单峰型问题.Belbachir等人、Tanny等人和Benoumhani各自研究了Pascal三角中某些截线上的序列的单峰型问题.本部分对Pascal三角中各种截线上的序列的单峰型问题进行研究,所得结论反映出单峰型问题关于各种截线有着不同的表现形式.例如,截线上的有限序列和平行于边界的截线上的无限序列是对数凹的，从而是单峰的；不平行于边界的截线上的无限序列从某项起是对数凸的；垂直截线上的无限序列从对数凹性变化到对数凸性,且变化的拐点可以确定.所得结论能统一许多已有的结果.特别的,回答了Belbachir等人的一个公开问题.本部分工作已引起国外同行的注意.第二部分研究其它组合三角中截线上的单峰型问题.对于由多项式系数组成的三角，本部分的工作表明其中截线上的单峰型问题既有Pascal三角中对应问题的推广，又随着参数的变化有着特殊之处.例如多项式系数三角中截线上的有限序列并不一定都是对数凹的.关于对称函数的研究回答了Sagan的一个公开问题,所得结论进一步给出了q-二项式系数和两类q-Stirling数的单峰型性质.对由广义二项式系数组成的三角,证明了其中截线上的有限序列是对数凹的.第三部分首先给出有限PF序列一个必要条件.Newton不等式表明对数凹性是有限PF序列的必要条件.本部分证明了有限PF序列的凹性和凸性至多变化两次.从而该类序列被分为至多三部分,其中中间部分是凹的而其余部分是凸的.该结果可视为有限PF序列的一个新的必要条件.另外证明了由广义二项式系数组成的三角保持强q-对数凹性质.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 基本概念
• 1.1.1 单峰型性质
• 1.1.2 组合三角
• 1.2 研究概况
• 1.2.1 单峰型问题的研究背景
• 1.2.2 组合三角中的单峰型问题
• 1.3 本文主要工作
• 2 Pascal三角中的单峰型问题
• 2.1 有限序列
• 2.2 无限序列
• 2.3 其它问题
• 2.3.1 有限序列的和式
• 2.3.2 有限序列的峰点
• 2.3.3 有限序列的渐近性质
• 2.4 本章小结
• 3 其它三角中的单峰型问题
• 3.1 多项式系数的单峰型问题
• 3.2 对称函数的单峰型问题
• 3.3 广义二项式系数的单峰型问题
• 3.4 本章小结
• 4 有限PF序列和三角变换
• 4.1 有限PF序列的凹凸性
• 4.2 保持单峰型性质的三角变换
• 4.3 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表学术论文情况
• 致谢
• 作者简介