延迟微分方程的谱亏损校正方法

论文摘要

延迟微分方程广泛出现在自动控制、生物、医学、航天航空及国民经济等领域,因此研究其解法(主要是数值解)具有十分重要的意义。普通常微分方程数值求解已经是一个发展非常成熟的研究课题,而目前对延迟微分方程数值方法的研究基本上都是在这些方法的基础上加以改造而成。但这些已有的方法往往都存在两个缺陷:(I)数值方法的步长受限制于方法的稳定性要求,特别当处理刚性问题时;(II)高阶精度的数值方法往往稳定性不好,并且实际的数值试验得到的精度往往没有理论推导的精度那么高。在保持较好稳定性的同时,寻求精度更高,算法复杂度更低的数值算法,一直是计算数学专业人员的梦想。Alock Dutt等人于2000年首次提出了求解经典常微分方程数值解的谱亏损校正(SDC)方法。该方法综合了Picard积分方程形式,传统的亏损校正方法, Gauss Legendre正交多项式及相应的Gauss求积公式。通过亏损校正格式的迭代和Gauss求积保证了算法的高精度。用传统的低阶方法驱动该程序,并在开始到其后每一步的迭代都是采用该低阶方法,从而保证了该算法的良好的稳定性。试验结果表明该算法确实非常优秀。鉴于此,本文将SDC方法引入到求解延迟微分方程数值算法的研究中来,得到了求解延迟微分方程的SDC方法,并分析和证明了该算法的稳定性和收敛性。试验结果进一步表明该算法用来求解延迟微分方程确实非常有效的。相信本文的研究必将进一步丰富延迟微分方程数值算法的理论和推动SDC方法在该领域的广泛应用和深入研究。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 延迟微分方程的意义及背景
• 1.2 SDC 方法简介及研究现状
• 1.3 本文的主要工作
• 2 延迟微分方程的 SDC 方法原理及算法实现
• 2.1 引言
• 2.2 算法原理及推导过程
• 2.3 SDC 离散方法及求解过程
• 2.4 求解延迟微分方程 SDC 方法的算法描述
• 3 延迟微分方程SDC 方法的收敛性分析
• 3.1 引言
• 3.2 预备知识
• 3.3 SDC 方法收敛性分析
• 4 微分方程 SDC 方法的稳定性分析
• 4.1 引言
• 4.2 预备知识
• 4.3 SDC 方法的稳定性分析
• 5 数值实验与结果分析
• 6 全文总结与展望
• 6.1 全文研究总结
• 6.2 进一步研究展望
• 致谢
• 参考文献
• 附录 攻读硕士期间发表的论文