非线性奇异常微分方程的若干问题

论文摘要

随着科学技术的发展，在物理学、化学、数学、生物学、医学、经济学、工程学、控制论等领域出现了各种各样的非线性问题。由于其广泛的应用背景和深刻的数学意义，这些非线性问题引起了许多学者的密切关注。目前，非线性泛函分析已经成为现代数学中的一个重要分支。它为解决各种各样的非线性问题提供了一个富有成效的理论工具。利用非线性泛函分析研究问题的主要方法有：拓扑度理论、临界点理论、半序方法以及分析方法等。关于非线性泛函分析及其应用，国内外有许多优秀的专著（见[1，5，6]）。 许多非线性问题可以通过转化为相应的方程获得研究，例如可以转化为：微分方程、积分方程、积分-微分方程、差分方程及算子方程等其它类型的各种方程。奇异常微分方程的研究起源于各种应用学科，例如，核物理、气体动力学、牛顿流体力学、边界层理论、非线性光学等。在普通空间中，奇异微分方程的正解以及多个正解的存在性获得了充分的研究，出现了一大批优秀的成果。近十年来，抽象空间中的常微分方程理论已经发展成为现代数学中的一个新的重要的分支（见[4，11，12]）。到目前为止，只有少数文献在抽象空间中研究奇异微分方程。脉冲微分方程理论是近年来发展起来的另一个重要的研究分支（[8，71]），其相应的理论尚需进一步的完善。本文的目的之一就是研究抽象空间中同时具有奇异性和脉冲的微分-积分方程解的存在性。 增算子不动点理论以及建立在其基础之的上下解方法是研究各种非线性问题时经常使用的基本方法之一。我们在使用传统的上下解方法时通常要求相应的非线性算子是增算子。无疑，当非线性算子在不具有增性条件时，如何使用上下解方法无论在理论上还是应用上都具有重要的意义。文[77]中，作者提出了极限增算子的概念，利用上下解方法在非线性算子满足一定的条件时，获得了算子方程解的存在性结果。本文的另一目的就是进一步研究极限增算子方程解的存在性。 本文中，我们利用拓扑度理论和有关非紧性测度的理论，在相对广泛的条件下，研究了抽象空间中几类微分方程正解及多解的存在性。特别的，我们还考虑了一类m-点边值问题正解的全局结构。本文的最后给出了极限增算子方程解的一些存在性结果。 本文共分四章。 第一章，我们讨论了几类奇异微分方程正解及多个正解的存在性。§1．2，考察了Banach空间中一阶奇异混合型脉冲积分-微分方程正解的存在性。首先构造了一个特殊的非空闭凸集，然后利用M（?）nch不动点定理获得了本节主要结果。在§1．3中，我们利用不动点指数理论，在Banach空间中针对一类奇异二阶Neumann边值问题的多个正解的存在性进行了讨论。§1．4．我们首先在乘积空间中构造了一个特殊的非空闭凸集，然后利用著名的Shauder不动点定理得到了一类奇异微分方程组边值问题的正解存在性结果。我们指

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 Banach空间中微分方程（组）的正解及多解
• 1.1 引言和预备知识
• 1.2 Banach空间混合型一阶奇异脉冲微分-积分方程初值问题的解
• 1.3 Banach空间二阶奇异脉冲微分方程的多解存在性
• 1.4 Banach空间中奇异积分-微分方程组边值问题解的存在性
• 第二章 Banach空间中m点边值问题的正解及多解
• 2.1 引言和预备知识
• 2.2 Banach空间中m点边值问题的正解存在性
• 2.3 Banach空间中奇异m点边值问题的多解存在性
• 2.4 超线性奇异m点边值问题正解的全局结构
• 第三章 无穷区间上微分方程解的存在性
• 3.1 引言和预备知识
• 3.2 无穷区间上一阶奇异微分方程正解的存在性
• 3.3 无穷区间上n阶微分方程边值问题解的存在性
• 第四章 极限增算子方程的解
• 4.1 引言和预备知识
• 4.2 极限增算子方程的解
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间已发表的论文目录
• 学位论文评阅及答辩情况表