几类超椭圆Hamilton系统Abel积分之比的单调性

论文摘要

本文讨论了三类具有退化平衡点的四次超椭圆Hamilton系统在一次多项式微扰下的两Abel积分之比P（h）的性态,这三类四次超椭圆Hamilton系统来自于某种余维五的退化平衡点的开折（参见[64]）。其中,第一类超椭圆Hamilton函数为H（x,y）=（?）,其对应的Hamilton系统具有幂零中心、双曲鞍点以及同宿环;第二类超椭圆Hamilton函数为H（x,y）=（?）,其对应的Hamilton系统具有初等中心、双曲鞍点、以及同宿环,且有一对共轭虚数坐标的平衡点;第三类超椭圆Hamilton函数为H（x,y）=（?）,其对应的Hamilton系统具有幂零尖点、初等中心、双曲鞍点以及幂零尖点环、同宿环。借助文献[54]的方法和思想,通过理论分析和数值辅助,我们得到P（h）的单调性,从而这几类系统的Abel积分孤立零点个数不超过1,给出了文献[36]中非Chebyshev向量场的例外情况,即这三类具有退化平衡点的四次超椭圆Hamilton系统在一次多项式微扰下是Chebyshev。我们也写出了这三类Hamilton系统在多项式微扰下的Picard-Fuchs方程,并对第一类具有幂零中心Hamilton系统在二次多项式微扰下的Abel积分进行了研究,将其孤立零点个数研究问题,通过各种变换以及数形结合的思想转化为曲线（P（h）,Q（h））与任意直线的交点个数的问题（参见[25],[53]等）,并对临近Hamilton量的两端点Abel积分的性态进行了分析。

论文目录

• 摘要
• 摘要
• §1 前言
• §1.1 背景
• §1.2 预备知识
• §1.3 本文的主要工作与创新点
• §2 一类具有幂零中心的超椭圆Hamilton系统Abel积分之比的单调性
• §2.1 主要问题
• §2.2 主要结果及证明
• §3 一类具有共轭虚数坐标的平衡点的超椭圆Hamilton系统的Abel积分之比的单调性
• §3.1 主要问题
• §3.2 主要结果及证明
• §4 一类具有幂零尖点的超椭圆Hamilton系统Abel积分之比的单调性
• §4.1 主要问题
• §4.2 主要结果及证明
• §5 三类超椭圆Hamilton系统的Picard-Fuchs方程及讨论
• §5.1 一类具有幂零中心的Hamilton系统的Picard-Fuchs方程及讨论
• §5.1.1 Picard-Fuchs方程
• §5.1.2 主要结果
• §5.1.3 在中心（幂零中心）的讨论
• §5.1.4 在鞍点的讨论
• §5.2 一类具有共轭虚数坐标的平衡点的Hamilton系统的Picard-Fuchs方程
• §5.3 一类具有幂零尖点环的Hamilton系统的Picard-Fuchs方程
• 参考文献
• 致谢