Bogdanov-Takens分支在生物传染病中的应用

论文摘要

本文考虑了具有常数输入率和非线性发生率且疾病仅在食饵中传播的捕食者-食饵系统.对于一个种群中的传染病模型,已经有大量的文献研究,并且对捕食者-食饵两个种群模型的研究,人们也做了不少的研究,然而关于在捕食者-食饵系统中含有传染病的状况,研究工作不是很多.本文主要以常微分方程的定性理论与分支理论的工具对此类生物传染病模型进行了研究,讨论该模型在第一象限及坐标轴上的平衡点的局部稳定性,并对正平衡点的二维Hopf分支和正平衡点的三维Hopf分支及Bogdanov-Takens分支的情况进行了讨论,由于维数的升高,这类模型具有更加复杂的动力学现象.数值模拟验证了我们的结论.全文共分四章.第一章,介绍研究常微分方程的分支与生物传染病模型的意义以及本文内容上的安排.第二章,介绍本文所涉及到的一些基本概念和所用的方法.第三章,本章研究具有常数输入率和非线性发生率的生物传染病模型.主要讨论了此三维系统的平衡点及局部稳定性,并给出了平衡点的稳定性的条件,最后利用中心流行定理分析了正平衡点附近的三维Hopf分支,在取定某组参数值时,对分支情况进行了数值模拟.第四章,继续研究第三章所讨论生物传染病模型,但我们限制在不变平面上,得到了二维系统产生Hopf分支的条件,在此条件下得到了相应的极限环,讨论了其稳定性的情况,做出了相应的数值模拟.我们分析了此系统出现Bogdanov-Takens分支的条件,给出了相应的证明.计算了Bogdanov-Takens分支,得到了相应的鞍结点分支曲线,Hopf分支曲线,同宿轨分支曲线.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景与现状
• 1.2 本文的主要工作
• 第二章 预备知识
• 2.1 本文研究内容的基本概念及研究方法
• 2.1.1 平衡点
• 2.1.2 平衡点的稳定性
• 2.1.3 Hurwitz 判别法则
• 2.1.4 极限环及稳定性的定义
• 2.1.5 中心流形与同宿轨
• 2.1.6 Hopf 分支
• 2.1.7 Bogdanov-Takens 分支
• 2.2 本章小结
• 第三章 平衡点及三维 Hopf 分支
• 3.1 引言
• 3.2 平衡点及其稳定性
• 3.3 Hopf 分支
• 3.4 本章小结
• 第四章 Hopf 分支与 Bogdanov-Takens 分支
• 4.1 二维Hopf 分支
• 4.2 Bogdanov-Takens 分支存在的条件与证明
• 4.3 Bogdanov-Takens 分支的开折与分支曲线
• 4.4 本章小结
• 第五章 结论
• 致谢
• 参考文献
• 附录