几类非线性演化方程的精确类孤子解

论文摘要

非线性发展方程的求解问题是古老而重要的研究课题.尽管，数学家和物理学家们在这方面做了很多的研究，但由于非线性微分方程的复杂性，至今仍无一般的精确求解方法.所幸的是，孤立子理论中有着一些构造精确解的有效方法，如齐次平衡法[4-8]、反散射法[21]、双线性变换法[33]、辅助方程法[47-55]、达布变换法[60-66]等.本文主要利用辅助方程法和达布变换法求解了几个非线性演化方程.本文共分三章：第一章为绪论部分，介绍了孤立子理论的产生和发展以及非线性发展方程精确求解的情况，最后介绍了本文的主要工作.第二章第一节介绍了辅助方程法的一般过程，第二节对文献[47]所考虑的辅助方程的解，根据其相互包含关系重新分类得到该辅助方程的所有独立解，在此基础上利用这些解并借助符号计算系统获得了变系数组合KdV方程，变系数Burgers方程和变系数（3+1）维ZK方程新的更丰富的精确类孤子解.第三章首先介绍了达布变换法的基本思想，其次通过假设新形式的达布阵，得到了Dirac系统和HBK方程的达布变换以及新的孤立子解.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 孤立子理论的产生和发展
• 1.2 非线性发展方程精确求解的发展概况
• 1.3 本文主要工作
• 第二章 辅助方程法
• 2.1 方法的简介
• 2.2 标准椭圆函数方程
• 2.2.1 变系数组合 KdV 方程的精确类孤子解
• 2.2.2 变系数 Burgers 方程的精确类孤子解
• 2.2.3 变系数（3+1）维 ZK 方程的精确类孤子解
• 第三章 达布变换法
• 3.1 达布变换法的基本思想
• 3.2 非线性 Dirac 系统的达布变换和新的精确解
• 3.3 非线性 HBK 方程的达布变换和新的精确解
• 总结与展望
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间取得的学术成果
• 致谢