某些三角剖分上样条函数空间的奇异性及插值适定性

论文摘要

样条函数作为函数逼近论的一个重要分支,已得到了迅速的发展和广泛的应用。样条函数,就是具有一定光滑度的分段或分片定义的函数。一元样条函数已经建立了非常完善的理论体系。八十年代起,样条函数的研究开始转向多元情形。虽然多元样条函数在思想上是一元样条函数的推广,但它比一元样条函数困难得多、复杂得多,这不仅仅是因为区域的多维性及多元函数区域上的复杂性,而且多元多项式样条空间的结构除依赖剖分的拓扑性质外,还紧密地依赖于剖分的几何性质。 本文从多元样条函数的协调方程出发,运用罗钟铉教授提出的多项式环上素模中的生成基理论和方法,在Mathematica软件环境下做了一些研究工作,主要结果如下: 1.详细讨论了多元样条函数空间S42(ΔMS)的奇异性问题,得到了该空间奇异的代数型充分必要条件,并在此基础上给出了该空间的维数。 2.对2-型三角剖分上多元样条函数空间S21(Δ<sub>222)的插值适定性问题进行了研究,给出了该空间插值适定结点组的选取方法,并在此基础上进一步提出了一种构造插值适定结点组的方法,给出了相应的例子。该方法应用于Morgan—Scott型三角剖分和1-型三角剖分上时得到了相应的结论。

论文目录

• 第一章 综述
• 1.1 多元样条函数理论
• 1.1.1 多元样条函数概述
• 1.1.2 光滑余因子方法
• 1.1.3 多元样条函数的表现定理
• 1.2 Gr（o|¨）bner基理论
• 1.2.1 定义和符号
• 1.2.2 Gr（o|¨）bner基的计算
• 1.2.3 Gr（o|¨）bner基的应用
• 1.3 数学机械化简介
• 1.4 本论文主要工作简介
• m中模的生成基方法'>第二章 K[x]^m中模的生成基方法
• 2.1 引言
• 2.2 序、约化定理及生成基
• 2.2.1 基本概念
• 2.2.2 一维情形
• 2.2.3 二维情形
• 2.3 模中生成基的充分必要条件及其算法
• 2.3.1 模中生成基的充分必要条件
• 2.3.2 模中生成基的算法
• 2.4 模中生成基方法在多元样条函数中的应用
• 2.4.1 两个重要引理
• 2.4.2 两个重要公式
• 2.5 总结
• 第三章 Morgan-Scott三角剖分上样条函数空间的奇异性问题
• 3.1 生成基方法的机械化实现
• 3.1.1 概述
• 3.1.2 Mathematica软件简介及运用
• 3.1.3 软件与算法结合运用过程
• 2¹(Δ_MS)的奇异性条件'>3.2 样条函数空间S₂¹(Δ_MS)的奇异性条件
• 3²(Δ_MS^（2）)的奇异性条件'>3.3 样条函数空间S₃²(Δ_MS^（2）)的奇异性条件
• 3²(Δ_MS^（2）)奇异的充分必要条件'>3.3.1 样条函数空间S₃²(Δ_MS^（2）)奇异的充分必要条件
• 3.3.2 两个实用的奇异性判别条件
• 4²(Δ_MS)的奇异性条件'>3.4 样条函数空间S₄²(Δ_MS)的奇异性条件
• 4²(Δ_MS)奇异的充分必要条件'>3.4.1 样条函数空间S₄²(Δ_MS)奇异的充分必要条件
• 4²(Δ_MS)奇异的两个特例'>3.4.2 样条函数空间S₄²(Δ_MS)奇异的两个特例
• 4²(Δ_MS)的维数'>3.5 样条函数空间S₄²(Δ_MS)的维数
• 3.6 总结
• 第四章 多元样条函数空间的插值适定性问题
• 4.1 基本概念
• 2¹(Δ_MS)的插值适定性问题'>4.2 样条函数空间S₂¹(Δ_MS)的插值适定性问题
• 4.3 2-型三角剖分上样条函数空间的插值适定性问题
• 4.3.1 贯穿剖分定义及其维数公式
• 2¹(Δ₂₂^（2）)的插值适定性问题'>4.3.2 样条函数空间S₂¹(Δ₂₂^（2）)的插值适定性问题
• 4.4 构造样条函数空间插值适定节点组的方法
• 2¹(Δ^<sub>22^（2）)空间插值适定结点组的方法'>4.4.1 构造S₂¹(Δ^<sub>22^（2）)空间插值适定结点组的方法
• 3¹(Δ^<sub>22^（1）)空间插值适定结点组的方法'>4.4.2 构造S₃¹(Δ^<sub>22^（1）)空间插值适定结点组的方法
• 4.5 总结
• 参考文献
• 硕士期间发表论文情况
• 致谢