箭图与Hopf代数

论文摘要

本文从箭图和它的表示理论出发，研究Artinian代数、Hopf代数及非平衡量子偶的结构和表示。对于任意的有限箭图Q，我引入了它的集合表示范畴Set-RepQ，并且研究了覆盖箭图的路代数kQa上的Hopf代数结构与其路余代数kQc上的Hopf代数结构之间的一一对应关系。既然路余代数kQc上有Hopf代数结构当且仅当Q是覆盖箭图，本文进一步地考虑了怎样的广义路余代数上有Hopf代数结构。通过对Artinian代数A定义的自然箭图△A，一类特殊的Artinian代数可以用其相应的广义路代数来描述。为了推广从一个Hopf代数H出发定义的经典量子偶D（H）=(Hop)*（?）H，我们打破张量积左右两边H的平衡性，引入了从两个Hopf代数C和H出发定义的非平衡量子偶DC（H）=(Cop)*（?）H，这个新的Hopf代数的一些重要性质如拟三角性、半单性、模范畴和表示型在文中都有被详细讨论。特别地，当C和H都是群代数时，DC（H）同构于在一个路代数的商上定义的Hopf代数，这样，DC（H）的模范畴可以等价地用箭图的线性表示范畴来描述。

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 第一章 内容简介
• 1.1 简介
• 1.2 主要结果
• 第二章 预备知识
• 2.1 范畴与函子
• 2.2 箭图与线性表示
• 2.3 （广义）路代数和（广义）路余代数
• 2.4 （余）拟三角Hopf代数和量子偶
• 2.5 代数的表示型
• 第三章 箭图的集合表示
• 3.1 箭图的集合表示范畴
• 3.2 带有正分次P（Q）-sets的箭图
• 3.2.1 正箭向函数和对称圈
• 3.2.2 正分次的P（Q）-sets
• 3.3 箭图的线性表示和集合表示
• 第四章 由箭图构造Hopf代数
• 4.1 由箭图构造Hopf代数
• 4.1.1 从Hopf箭图和覆盖箭图到Hopf代数
• 4.1.2 对偶关系
• 4.2 例子和应用
• 4.3 Schurian覆盖箭图上的Hopf代数的分次自同构群
• 第五章 广义路余代数上的Hopf代数结构
• 5.1 广义路余代数的刻划
• 5.2 主要定理
• 5.3 主要定理的证明
• 第六章 Artinian代数的自然箭图
• 6.1 广义路代数的刻划
• 6.2 自然箭图与Ext-箭图的关系
• 6.3 根分次情况下的广义Gabriel定理
• 第七章 由群构造的非平衡量子偶
• X（G）的代数结构'>7.1 D_X（G）的代数结构
• X（G）的Hopf代数结构'>7.2 D_X（G）的Hopf代数结构
• X（G）'>7.3 非平衡量子偶D_X（G）
• X（G）的表示型'>7.4 D_X（G）的表示型
• 第八章 由Hopf代数构造的非平衡量子偶
• 8.1 H余交换的情形
• X（H）的Hopf代数结构'>8.1.1 D_X（H）的Hopf代数结构
• C（H）的半单性'>8.1.2 D_C（H）的半单性
• 8.2 C右强Normal的情形
• C（H）的Hopf代数结构'>8.2.1 D_C（H）的Hopf代数结构
• C（H）的模范畴'>8.2.2 D_C（H）的模范畴
• 8.3 H余交换且C右Normal的情形
• 参考文献
• 致谢
• 在读期间完成的论文