非线性偏微分方程的精确求解

论文摘要

孤立子理论是非线性科学的一个重要组成部分,许多理论和应用科学中的数学模型导出的非线性方程具有孤立子特性。因此,孤立子方程的求解在理论和应用中都具有极其重要的意义。本文根据数学机械化思想,以符号计算软件为工具,研究了非线性发展方程的求解问题,利用符号计算系统Maple,并应用改进的求解方法解得一些方程的新的精确解。第一章是绪论,介绍了孤立子研究的历史和发展的概况,包括孤立子理论的起源,非线性发展方程的求解方法的发展过程,还介绍了数学机械化和符号计算的概念和应用。第二章内容是应用F-展开法求解广义Hirota-Satsuma耦合方程。首先介绍F-展开法的步骤,接着应用F-展开法来求解Hirota-Satsuma耦合方程,得到了很多文献[14]中没有给出的新的方程的精确解。第三章内容是利用文献[13]提出的改进的耦合的Riccati方程组来求解（2+1）维Burgers方程。首先介绍了利用改进的耦合的Riccati方程组来求解的方法步骤,接着应用此方法,得到了（2+1）维Burgers方程的更多的新的精确解。第四章首先利用改进的Riccati方程求得KdV-MKdV方程的一些新解,其次求解2+1维广义浅水波方程的类孤子解和周期解,求得的解带有变系数,由于系数的可变性,可获得更多的方程的类孤子解和周期解.第五章首先简要的介绍了求解非线性发展方程的一种有效的方法——达布变换法,其次提出了一种新的达布变换,并加以证明,最后用新的达布变换对于BK系统进行应用,求得了方程的新的解.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 孤立子研究的历史和发展概况
• 1.2 非线性发展发程的精确解
• 1.3 数学机械化与符号计算
• 第二章 用 F-展开法求解广义 Hirota-Satsuma 耦合方程
• 2.1 F-展开法介绍
• 2.2 用F-展开法求广义Hirota-Satsuma 耦合方程周期解
• 第三章 利用耦合的 Riccati 方程组求解（2+1）维 Burgers 方程
• 3.1 方法介绍
• 3.2 应用实例：求（2+1）维Burgers 方程精确解
• 第四章 用改进的 Riccati 方程求解和求方程变系数形式的解
• 4.1 利用改进的Riccati 方程求解KdV-MKdV 方程
• 4.2 变系数形式的2+1 维广义浅水波方程的类孤子解和周期解
• 第五章 达布变换
• 5.1 构造新的达布变换
• 5.2 新的达布变换的应用
• 参考文献
• 致谢篇