微分方程和差分方程解的性质的研究

论文摘要

随着科学技术的进步与发展,微分方程和差分方程出现在许多重要的应用领域,包括物理学、种群动力学、自动控制、生物学、医学和经济学等.微分方程及差分方程是用来描述自然现象变化规律的一种有力工具,由于寻求其通解十分困难,有时甚至是不可能的,故从理论上探讨解的性态一直是近年来研究的热点问题.我们的工作主要集中在三个方面:一是微分方程的振动性及非振动解的存在性;一是时标上微分动力系统的振动性;一是差分方程解的周期性及渐近性.本文由五章组成,主要内容如下:第一章概述了微分方程及差分方程的应用背景和国内、外研究状况,这一章也包括一些预备知识,如有关微分方程、时标及差分方程的基本概念和重要的不动点定理.第二章讨论了高阶非线性中立型微分方程,通过建立一些重要的微分不等式,得出了方程振动的充分条件.第三章通过构造映射及运用不动点定理,给出了高阶中立型微分方程有界非振动解存在的充分条件.第四章研究了时标上二阶方程的振动性,给出了方程有界解振动的充分必要条件,我们的结果改进和推广了文献中的一些结果.第五章考虑一类有理型差分方程,通过构造一个函数,使其满足一定的条件,得到了方程解的周期性及渐近性的结果.

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 1 绪论
• 1.1 已有工作简述
• 1.2 记号,定义与基本定理
• 2 高阶非线性中立型微分方程的振动性
• 2.1 引言
• 2.2 相关引理
• 2.3 方程（2.1.1）解的振动性
• 2.4 例子
• 3 高阶中立型微分方程有界非振动解的存在性
• 3.1 引言
• 3.2 具有Lipschitz条件的高阶中立型微分方程有界非振动解的存在性
• 3.3 具有单调性的高阶非线性中立型微分方程非振动解的存在性
• 4 时标上一类二阶非线性微分方程有界解振动的充分必要条件
• 4.1 引言
• 4.2 相关引理
• 4.3 方程（4.1.1）有界解振动的充分必要条件
• 4.4 例子
• 5 一类有理型差分方程解的周期性和渐近性
• 5.1 引言
• 5.2 方程（5.1.1）解的周期性和渐近性
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间取得的科研成果清单