无穷区间多维反射倒向随机微分方程和比较定理

论文摘要

本文研究的是无穷区间多维反射倒向随机微分方程解的存在唯一性，解对参数的连续依赖性以及比较定理。众所周知，倒向随机微分方程（BSDE）是一个新兴的研究方向，它的出现为研究金融数学，随机最优控制以及偏微分方程等问题提供了有利的工具。如下的非线性BSDE：-dY（t）=f(t，Y（t），Z（t）dt-Z（t）dBt，YT=ξ是由Pardoux和Peng于1990年在[1]中首先介绍的，后来Peng于1992年在[2]中证明了一维BSDE的比较定理，彭实戈教授的学生周海滨于1999年在[3]中证明了一类多维BSDE的比较定理，证明方法是构造了一个特殊的函数，这个函数是Buckdahn和Peng于1999年在[4]中首次介绍的。El.Karouietal在[5]中研究了带一个障碍的一维反射BSDE，给出了一维情况下解的存在唯一性定理和比较定理，同时还在Markov框架下研究了一维反射BSDE与非线性抛物性偏微分方程的联系。Hamadene，Lepeltier，Wu把这种一维反射BSDE的区间扩展到了无穷区间上，而肖华则在2005年的硕士毕业论文中把一维反射BSDE推广到了多维的情况。在这些基础之上，我们现在很自然的提出，如何建立无穷区间上多维反射BSDE的框架，建立之后，无穷区间多维反射BSDE的解是否存在唯一，解对参数是否具有连续依赖性以及解的比较定理是否成立。本文共分三章。第一章：引言，叙述前人所作的工作以及问题的由来。第二章：在[6]中对一维情况的证明以及[7]中对于反射BSDE从一维到多维的推广的基础上，我们提出了如下的无穷区间多维反射BSDE模型：首先假定：（H2．1）ξ∈Ln2。（H2．2）f：Ω×[0，∞]×Rn×Rn×d→Rn，f（·，y，z）是循序可测的并满足：E（integral from n=0 to∞|fj（s，0，0）|ds）2＜∞，（?）j=1，2，…，n。（H2．3）存在两个正的确定的函数u1（t），u2（t），使得：|f（t，y，z）-f（t，y′，z′）|≤u1（t）|y-y′|+u2（t）|z-z′|其中t≥0，y，y′∈Rn，z，z′∈Rn×d且有integral from n=0 to∞u1（t）dt＜∞，integral from n=0 to∞u22（t）dt＜∞。下面再给出一个n维障碍{S（t），t≥0}∈Rn满足：（H2．4）S（t）是连续的循序可测过程且满足：E[（?）（S+（t））2]＜∞，lim （?） S（t）≤ξ．我们称（f，ξ，S）为一组标准参数，若它满足（H2．1）-（H2．4），称{Y（t），Z（t），K（t），t≥0}∈Rn×Rn×d×Rn+是无穷区间n维RBSDE的一组解，若它满足：（H2．5）Y（t）∈Sn2，Z（t）∈Hn2，K（∞）∈Ln2。（H2．6）Y（t）=ξ+integral from n=t to∞f（s，Y（s），Z（s））ds+K（∞）-K（t）-integral from n=t to∞Z（s）dBs。（H2．7）Y（t）≥S（t），t≥0。（H2．8）K（t）是连续的增过程，K（0）=0且integral from n=0 to∞（Y（t）-S（t））dK（t）=0。这里Y（t）是一个Rn向量，它的第j个分量是Yj（t）。多维模型同一维模型的区别主要体现在（H2．7）和（H2．8）上，意味着仅当Yj碰到障碍Sj时，用一个最小的推动力Kj将Yj向上推动，使之在障碍Sj上面运动。以[6]与[7]对反射BSDE的证明为基础，我们证明了无穷区间多维反射BSDE解的存在唯一性，即定理2．1：当（f，ξ，S）满足（H2．1）-（H2．4）的条件时，无穷区间多维RBSDE（f，ξ，S）存在着一组解（Y，Z，K）满足条件（H2．5）-（H2．8）且至多有一组循序可测的解。有了解的存在唯一性，在这一章的最后，我们还证明了解对参数是具有连续依赖性的。第三章：为了说明无穷区间多维反射BSDE的比较定理，我们将两个Rn中向量的比较定义为：α1≥α2（?）αj1≥αj2，j=1，2，…，n。α1，α2∈Rn。由此得出了无穷区间多维BSDE的比较定理：定理3．1：设（fi，ξi，si）和（Yi，Zi，Ki），i=1，2，分别满足条件（H2．1）-（H2．8），并且（ⅰ）ξ1≤ξ2；（ⅱ）fj1（t，y1，z1）≤fj2（t，y2，z2），其中yj1=yj2，zj1=zj2，yl1≤yl2，l≠j；（ⅲ）S1≤S2。则有Y1≤Y2。下面，考虑定理3．1中的条件（ⅱ）能否换成更弱的条件：（ⅱ′）fj1（t，y，z1）≤fj2（t，y，z2），zj1=zj2我们举了一个满足条件（ⅱ′）但不满足条件（ⅱ）的例子，通过这个例子证明了比较定理不一定成立。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 引言
• 第二章 无穷区间多维反射BSDE解的存在唯一性
• 第三章 无穷区间多维反射BSDE解的比较定理
• 参考文献
• 致谢
• 学位论文评阅及答辩情况表