论文摘要
本文研究广义线性互补问题的新算法。 对于互补问题的数值方法,非光滑性是其固有的困难,是每个算法必须首先克服的难题。在近几年文献中应用最多的两种解决途径是:非光滑方程组法借助非光滑分析理论、利用次微分的信息提出了从正面解决非光滑性的策略,而磨光方程组法则通过引入光滑因子将原问题归结为带参数的非线性方程组求解。这些方法的共同特点是首先将原问题转化为确定（非光滑或带参数的光滑）方程组求解,然后利用非线性方程组的（广义）Newton法思想构造算法。与这些方法不同,本文的基本思想是借助互补问题与某个超定方程组同解的事实,利用该方程组的最小二乘形式将原问题直接转化为无约束优化问题,这样不仅把问题转化为光滑优化问题,而且避免了引入光滑参数导致的不便。在某种意义上拓宽了研究互补问题的数值方法。具体研究内容为线性互补问题在如下两方面的推广: 垂直线性互补问题。针对这个问题,首先构造了一个新的价值函数,该价值函数不仅光滑而且具有良好的强制性。基此,提出了求解垂直线性互补问题的一种阻尼Newton类算法。该算法具有下列特点: （ⅰ）所构造的价值函数虽然具有超定方程组的最小二乘问题的形式,但在基此建立的Newton算法中,其Newton方程的形式更象非线性方程组的Newton法中的Newton方程,仅利用了超定方程组的系数矩阵本身的信息,避免了一般最小二乘问题的Guass-Newton法中必须计算系数矩阵的乘积的工作量; （ⅱ）对竖块P0+R0矩阵的垂直线性互补问题,算法具有全局收敛性; （ⅲ）在解是BD-正则条件下,证明了算法的局部二次收敛性; （ⅳ）虽然算法只含一个Newton方程,但对竖块P-矩阵垂直线性互补问题（无须假设严格互补）,算法具有有限步收敛性。 数值实验结果表明,算法可行有效。特别对多个不同初始点的计算实例,说明了该算法具有较强的适应性。 一类广义线性互补问题。针对这个问题,构造价值函数的方法如上,但求解无约束优化问题的算法采用了一种不精确线搜索的共轭梯度算法,并证明了该算法的全局收敛性。数值实验结果表明,该算法稳定高效,特别适合于大型问题的数值计算。
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