求解拟Hessenberg方程组的一种解法

论文摘要

Hessenberg型矩阵和Hessenberg型方程组在数值代数中有着重要的作用.比如说,在矩阵特征值的计算中,由于它在QR分解中使RQ仍然保持Hessenberg型,从而使运算量大大减少.此外,在部分特征值的计算中,反幂法往往需要求解相应的线性方程组,因此这类方程组的解法具有相当重要的实际意义.另外,Hessenberg型矩阵和Hessenberg型方程组的应用也很广泛.在广义Hessenberg过程、不完全广义Hessenberg过程、求非亏损矩阵特征值、不完全正交化算法以及拟最小残量不完全正交化算法等问题中,都会遇到Hessenberg型矩阵或者是Hessenberg型方程组.所以,研究Hessenberg型矩阵和Hessenberg型方程组有着非常重要的意义.关于Hessenberg型矩阵和Hessenberg型方程组,有许多良好的性质.例如:（1）如果非奇分块矩阵A的主子块都是m阶的,那么存在m阶子块组Xi, Yj （i,j = 1,2,···,n）,使得分块矩阵A-1 = B = (Bij)的子块可以表示为Bij = XiYj, i≤j （i≥j） （i,j = 1,2,···,n）的充要条件是A为下（上）不可约分块Hessenberg矩阵.（2）对于单位上Hessenberg矩阵H,一定存在一个单位上三角矩阵X和一个单位上Hessenberg的Toeplitz矩阵T,使得XHX-1 = T.（3）对于单位上Hessenberg矩阵H,若存在单位上三角矩阵X1, X2和单位上Hessenberg的Toeplitz矩阵T1, T2,使得X1H = T1X1, X2H = T2X2,那么X1 = X2, T1 = T2.关于Hessenberg型矩阵和Hessenberg型方程组,本文的主要工作如下:（1）研究了Hessenberg型矩阵的应用和Hessenberg型方程组的解法.（2）以文献[1]为基础,对拟Hessenberg方程组的求解问题进行了讨论,给出了这种方程组的一种解法,并给出了算法.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 1.1 解线性方程组的直接法
• 1.2 解线性方程组的迭代法
• 1.3 Hessenberg 方程组的直接解法
• 第二章 Hessenberg 型矩阵的应用
• 2.1 广义Hessenberg 方法
• 2.2 不完全广义Hessenberg 方法
• 2.3 Hessenberg 型矩阵与非亏损矩阵特征值的关系
• 2.4 不完全正交化算法
• 2.5 拟最小残量不完全正交化算法
• 第三章 求解拟Hessenberg 方程组的一种新解法
• 3.1 算法推导
• 3.2 算法介绍
• 参考文献
• 致谢