论文摘要
形如的方程被称为倒向随机微分方程（BSDE）．线性的倒向随机微分方程是由Bismut[7]在1973年研究随机最优控制的最大值原理时首次引入的。1990年，Pardoux和Peng[56]首先证明了系数满足Lipschitz条件的非线性倒向随机微分方程解的存在唯一性。1992年，著名经济学家Duffie和Epstein也独立的地引入了一类特殊类型的倒向随机微分方程用以刻画金融中的递归效用函数。随后，学者们进一步的研究了不同条件下这类方程的可解性及相关性质，并广泛应用于数理金融、随机控制和经济管理等领域，使倒向随机微分方程理论得到了进一步的完善和发展。1997年，El Karoui，Kapoudjian，Pardoux，Peng和Quenez[24]首先提出了反射倒向随机微分方程的定义．在原方程的基础上增加一个增过程Kt，产生一个向上的“推力”使得方程的解恰好能保持在一给定过程（称为边界或障碍）的上方，且“推力”最小．此时方程表示为文章在Lipschitz条件下证明了解的存在唯一性结果并指出，在Markov情形下，该类方程的解可以表示为一类抛物型偏微分方程唯一的粘性解．1997年Matoussi[51]在系数是线性增长的情形下证明了反射倒向随机微分方程最大（最小）解的存在性．随后，Kobylanski，Lepeltier，Quenez和Torres等人[42]指出，在系数满足关于z二次增长条件下该类方程的解存在，但是在其文章中终端条件必须是有界的。倒向随机微分方程在金融中有广泛的应用．我们看到，完备市场模型下未定权益在某一时刻T的期望收益可以用一个动态投资组合来复制，其定价过程恰好可以由一个倒向随机微分方程的解Y来描述，对应的另一个过程Z则是相应的对冲投资组合。在实际应用中，某些情形下需要对财富过程进行必要的限制，这时就可以用带反射的倒向随机微分方程来描述，使方程的解位于给定的范围内。金融市场中许多重要的衍生产品均可以通过随机微分方程给出理论价格。倒向随机微分方程的另一个重要应用是给出了一类偏微分方程的概率解释。1991年，Peng[60]利用倒向随机微分方程对一类二阶拟线性抛物型偏微分方程做出了概率解释，将著名的Feynman-Kac公式推广到非线性的情形。为偏微分方程的发展和应用提供了更广阔的空间。本文主要研究了在终端条件无界且系数关于z二次增长条件下该类方程解的性质以及与偏微分方程的关系，同时还考察了一类与正向随机微分方程完全耦合的反射倒向随机微分方程解的存在性。以下是本文的结构和主要结论．第一章：简要介绍本文中所讨论问题的背景及总体思路。第二章：研究终靖条件无界且系数关于z二次增长条件下反射倒向随机微分方程解的性质。我们首先给出了解的存在性，进一步的，在f关于z是凸函数的假定下，采用与Briand和Hu[12]文中类似的方法，通过引入参数θ∈（0，1）进而考察Yt-θYt’得到了方程解的存在唯一性结果。定理2．1．2．（存在性）如果假设条件2．1．1-2．1．3成立，则以（ξ，f，L）为参数的反射倒向随机微分方程至少存在一个解，即：至少存在一个三元组（Y,Z，K）且Y∈S2（0，T），K∈A2（0，T），满足进一步的，如果假设条件2.1．4也成立，则Z∈Hd2（0，T）。定理2．1．3．（唯一性）如果假设条件2．1．1-2．1．5成立，则上述反射倒向随机微分方程存在唯一的解（Y,Z，K）。在解的存在唯一性基础上，本章继续探讨了解的稳定性，得到如下结果：性质2．6．3．（稳定性）如果ξn→ξP-a．s．成立且对每一个（y，z）∈R×Rd有fn（t，y，z）→f（t，y，z），则任意给定p≥1，我们有第三章：研究了由反射倒向随机微分方程的解所定义的函数与抛物型偏微分方程的障碍问题之间的关系．运用反证法思想，我们首先得到了偏微分方程粘性解的存在性结果：定理3．2．1．（存在性）定义u（t，x）=Ytt,x，则它是如下PDE的粘性解：在Kobylanski[41]的框架和假设下，进一步证明了粘性解也是唯一的。定理3．3．1．（比较定理）设假设条件3．3．1成立，则比较定理对上述PDE成立。也就是说，设u是PDE的一个连续有界的粘性下解而v是一个连续有界的粘性上解，并且u（T，x）≤v（T，x） inRn，则u≤u on[0，T)×Rn．定理3．3．4．（唯一性）设条件3．1．1-3．1．5和3．3．1成立，则上述PDE在连续有界函数类中至多存在一个粘性解．第四章：考虑如下完全耦合的带反射的正倒向随机微分方程系统这里的一个突出特征是正向方程系数中含有反射倒向方程的解变量Y。构造迭代序列，通过证明序列的收敛性可以得到：定理4．1．1．（存在性）设对所有的s∈[0，T]，w∈Ω以及x，x’，y，z∈R有如下条件成立：（a）b关于y是增函数，且f关于x也是增函数；（b）存在常数M≥0使得|b（s，x，y）|≤M（1+|x|+|y|），|f（t，x，y，z）|≤M（1+|y|+|z|）；（c）|σ（s，x）|≤M（1+|x|），|σ（s，x）-σ（s，x’）|≤M|x-x’|．则上述反射正倒向系统至少存在一组解（X，Y，Z，K）∈S2（?）S2（?）H2（?）Sci2．第五章：考察一类国际实业投资和消费选择问题．假定投资者可以将其财富投资于无风险债券（储蓄账户）以获得固定的收益；另一方面，也可以投资于一个国际实业项目以追求有风险的高收益；同时，投资者可以以高于存款利率的水平值获得贷款用于实业项目．设W（t）为t时刻投资者的财富总值，π（t）为投资于海外项目的财富值，则投资者的财富总值满足如下方程：dW（t）=]r（t）W（t）-C（t）+（g（t）-r（t））π（t）-（r’（t）-r（t））（W（t）-π（t））-]dt +σ（t）π（t）（1+β）dBt+π（t）σe（t）d（?）t．给定期望效用函数其中l，h是严格增加的凹函数，且关于C，W可微。我们希望使得期望效用达到最大化。可以证明，在这一模型假定下，经典的动态规划原理也是成立的。定理5．2．1．（动态规划原理）对任给的（W，s）∈R×[0，T)，有：结合经典的H-J-B方程，我们得到了投资者的最优投资策略并给出经济解释．在一类特殊的期望效用函数-HARA模型下，这里，L和K是常数，R∈（0，1），γ>0是贴现因子。利用解决线性二次（LQ）最优控制问题时常见的“猜想”构造方法，得到了最优投资策略的显示解。性质5．3．1．（HARA模型下的最优策略）记△（s）=（1+β）2σ2（s）+σe2（s）+2ρ（1+β）σ（s）σe（s），则HARA模型下的最优投资和消费策略选择问题（5.9）-（5．10）的最优投资策略为最优消费策略为进一步的，相应的最优值函数为其中，Φ1（s），Φ2（s），Φ3（s）是相应的方程（5．18）（5．20）（5．21）的解．在本章的最后，我们通过实际市场的资料选取合适的参数值，对最优投资策略进行了数值模拟以展示最优策略对参数的依赖性。
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