论文摘要
本文主要运用微分不等式的技巧(或称为上下解方法),在一定条件下证明几类非线性微分方程(不带小参数)解的存在性(部分内容包括解的唯一性),在此基础上研究带有小参数的几类奇异摄动边值问题,利用边界层函数法,构造了其高阶渐近解并得到了解的一致有效估计;并研究了一类不满足Nagumo条件的微分系统边值问题的微分不等式理论。本文主要分为四章:第一章,首先,介绍了奇异摄动理论的背景及前人的一些工作。其次,给出上下解的概念及Nagumo条件,同时给出了二阶微分不等式的基本结果,及后面会用到的基本引理。第二章,利用上下解方法,研究一类具有转向点的三阶微分方程的边值问题的解的存在唯一性,并构造其高阶渐近展开式,然后利用三阶微分不等式理论,计算了解的高阶误差估计。第三章,利用上下解方法,研究一类二阶微分系统两点边值问题的微分不等式理论,得到其存在唯—性定理;再利用Lyapunov函数研究上述微分系统另一类边值问题的微分不等式理论。第四章,利用微分不等式理论研究了一类二阶微分方程周期边值问题解的存在唯—性,并在一定条件下将其延拓成微分方程的周期解,最后研究其奇异摄动现象。
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