Bezier曲线中优化问题的研究

论文摘要

所谓的优化问题,即在满足一定约束的前提条件下,寻找到一组参数值,能够使得某些最优性度量得以满足,进而使系统的某些性能指标达到最大或最小化。优化问题的应用已经遍布社会、管理、经济、工业等各个领域,其重要性是不言而喻的,但不同的应用领域,其具体方法是不一样的。在数学上,我们通过求一个函数的最小值或最大值进行优化。在商业或工程中就是极小化成本或者极大化利润。根据约束函数的性质、目标函数及优化变量取值的不同,我们可以把优化问题分成许多类型,而根据不同类型的性质,其最优化问题又分别有其特定的求解方法。Bezier曲线的优化问题顾名思义就是对Bezier曲线加以一定的约束条件或者通过改变控制点使Bezier曲线达到我们预期的效果。由于Bezier曲线的特性,它在计算机的辅助几何设计方面得到广泛的应用。该文在分析Bezier曲线的基础上,研究了最短Bezier曲线问题即：如何改变控制点,使Beizer曲线的长度达到最小；并研究了Bezier曲线中的等周问题即：在给定周长约束条件的封闭Bezier曲线中,找出该曲线所围面积最大的曲线并求出对应的最大面积和控制点同时绘制出这条曲线；在此基础上,我们进一步加了曲线的切矢这个约束条件,解决了带多个约束条件的Bezier曲线优化问题。文章主要按以下结构布局：第一章主要是介绍了课题的研究背景和意义以及Bezier曲线中优化问题的研究现状,主要包括最短Bezier曲线问题和Bezier曲线中的等周问题。第二章主要介绍了最优化方法的概念以及其发展,介绍了几种求解最优化问题的常用方法,对优化方法有了更进一步的了解。第三章首先介绍最短Bezier曲线问题中Bezier曲线的数学表达,然后介绍了最短Bezier曲线的基本概念、定义以及基本原理和一般的方程表达式,最后介绍了最短Bezier曲线问题的两种求解方法：粒子群优化算法和模式搜索法；粒子群优化算法具有容易理解、容易实现、全局搜索能力强等特点,受到科学和工程领域的广泛关注。模式搜索法主要是在一个方向集上抽取目标函数,通过比较函数值的大小,找出下降方向进而解决所求问题。第四章研究了n次封闭Bezier曲线中的优化问题：等周问题,介绍了解决Bezier曲线中等周问题的算法并给出了几个实例。第五章研究了带切矢约束条件的Bezier曲线中的等周问题,是在第四章实现的等周问题的基础上,多加了一个约束条件,并用拉格朗日乘数法解决这个问题。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 课题研究背景和意义
• 1.2 国内外研究的现状
• 1.2.1 关于优化问题的研究现状
• 1.2.2 关于最短Bezier曲线的研究现状
• 1.2.3 关于等周问题的研究现状
• 1.3 本文的主要内容和结构安排
• 第二章 最优化方法的发展
• 2.1 最优化问题的概念与分类
• 2.2 求解最优化问题的常用方法
• 2.3 全局最优化（global optimization）方面的发展
• 2.3.1 确定性方法（deterministic approaches）
• 2.3.2 随机法（deterministic approaches）
• 2.4 本章总结
• 第三章 最短Bezier曲线问题
• 3.1 Bezier曲线的数学表达
• 3.2 最短Bezier曲线的基本原理
• 3.3 最短Bezier曲线问题的求解
• 3.3.1 粒子群优化算法
• 3.3.2 粒子群优化算法数值例子
• 3.3.3 模式搜索法
• 3.3.4 模式搜索法数值例子
• 3.4 本章小结
• 第四章 Bezier曲线中的等周问题
• 4.1 Bezier闭曲线的基础
• 4.2 等周问题概述
• 4.2.1 等周问题简介及其一个初等证明
• 4.2.2 关于等周问题的探索
• 4.3 Bezier曲线的极值性
• 4.3.1 Bezier闭曲线所围区域面积的矩阵表示
• 4.3.2 Bezier闭曲线周长的矩阵表示
• 4.3.3 Bezier闭曲线等周问题的求解
• 4.4 数值例子
• 4.5 本章小结
• 第五章 Bezier曲线中带切矢约束条件的等周问题
• 5.1 拉格朗日乘数法求条件极值
• 5.2 Bezier曲线中带切矢约束条件的等周问题
• 5.3 数值例子
• 5.4 研究等周问题的展望
• 5.5 本章小结
• 第六章 总结与展望
• 6.1 本文的主要工作
• 6.2 本文的创新点
• 6.3 研究工作中存在不足与展望
• 致谢
• 参考文献
• 详细摘要