论文摘要
KC空间的概念首先是由A．Wilansky在1967年提出的．空间X称为KC空间，如果X中的每个紧子集都是闭集．KC可以看作是介于T1和T2之间的一种分离性质．关于KC空间，R．Larson于1973年提出了这样的问题：空间（X，τ）是极大紧空间是否与空间（X，τ）是极小KC空间等价?关于这个问题，有很多人在研究，但到目前为止，该问题仍未彻底解决．与R．Larson的问题相关的一个问题是：是否每个KC空间是Katetov-KC的?也就是说，是否每个KC拓扑都包含极小的KC拓扑?W．G．Fleissner构造了一个非Katetov-KC的KC空间．对可数空间，O．T．Alas和R．G．Wilson给出了Katetov-KC空间的一个等价条件，并在文章最后提出了这样一个问题：基数小于c的可数紧KC空间是否具有FDS-性质?可膨胀性是一般拓扑学中的重要概念．L．L．Krajewski研究了可膨胀性与不同的覆盖性质之间的关系，并证明了仿紧空间是可膨胀的．J．C．Smith和L．L．Krajewski引入了可膨胀性的不同推广，并证明了弱仿紧空间是几乎可膨胀的．Hodel证明了T1的wN-空间是几乎可膨胀的．Chris Good等人进一步提出了wN-空间是否是可膨胀的问题．随后，Chris Good，Daniel Jennings和Abdul M．Mohamad引入了对称g-函数的定义，证明了一类强于wN-空间的sym-wg空间在附加正规的条件下是可膨胀的．最近，K．Y．Al-zoubi研究了一种新的可膨胀性-s-可膨胀性，并给出了极不连通空间中ω0-s-可膨胀空间的刻画．van Douwen在1979年提出了D-空间的概念．D-空间的一个基本性质是：在D-空间中，extent与Lindelof数一致．具体地，可数紧的D-空间是紧空间，具有可数extent的D-空间是Lindelof空间．这些理论使得D-空间在研究覆盖性质时非常有用．一般情况下，验证一个空间是否是D-空间是不容易的．因此，A．V．Arhangel’skii在2005年引入了D-空间的不同的推广形式．这些空间相对D-空间而言较容易验证，但在这类空间中却仍然保持可数紧蕴含紧这个性质．彭良雪引入了D-空间的另一种推广形式-Dσ-空间．由定义容易看出，Lindelof空间是Dσ-空间．作为上述问题的进一步研究，本文主要研究了三个方面的问题．主要结果如下：第一章引入了一类新的KC空间-强KC空间，在这类空间中可数紧子集是闭集．强KC空间具有非常好的性质．第1．3节简要讨论了强KC空间和KC空间的关系，证明了在遗传Lindelof空间或序列空间中强KC空间与KC空间是等价的；第1．4节研究了强KC空间的积空间和它的一点可数紧化问题；第1．5节主要证明了对强KC空间和极大可数紧空间而言，有类似R．Larson的问题的肯定回答，即空间（X，τ）是极大可数紧空间与空间（X，τ）是极小强KC空间等价，这里极大可数紧和极小强KC的等价性不再局限于某些特殊的空间，由此证明了极小强KC空间是闭遗传的并研究了极小强KC空间的其他性质，本节最后进一步研究了空间具有FDS-性质的某些充分条件，特别地，作为推论证明了具有可数伪特征的Lindelof T2空间具有FDS-性质，部分地回答了O．T．Alas，M．G．Tkachenko和V．V．Tkachenuk提出的一个问题；第1．6节首先证明了基数小于c的可数紧KC空间具有FDS-性质，肯定的回答了O．T．Alas和R．G．Wilson的一个问题，由此对基数小于c的强KC空间，给出了空间是Katetov-强KC空间的刻画，并给出了Katetov-强KC空间的充分条件．第二章主要研究了wN-空间的可膨胀性及s-可膨胀空间的刻画．第2．3节证明了T1的wN-空间是可膨胀的，肯定的回答了Chris Good等人提出的一个问题，并由此推广了相关已知结果；第2．4节研究了s-可膨胀性，对极不连通空间，用覆盖给出了s-可膨胀空间的刻画，推广了已有结论并给出了s-仿紧的一个充分条件．第三章研究了D-空间的一种推广形式-Dσ-空间．第3．3节简要研究了Dσ-空间的某些性质，将D-空间的某些结论推广到Dσ-空间中；证明了在θ-加细空间中，局部Dσ性质可以推出整体Dσ性质．