拉格朗日方程、平面哈密顿系统的运动稳定性

论文摘要

论文主要研究了拉格朗日方程、平面非线性哈密顿系统的运动稳定性,全文共分四章.第一章主要介绍了所研究问题的背景、意义及其国内外研究现状,同时给出论文所需要用到的预备知识.第二章主要研究拉格朗日方程的运动稳定性.为此,在Hill方程位于第一稳定区间时,利用典型的分析工具,对Ermakov-Pinney方程的正周期解r（t）给出了十分合理的上下界估计,这些估计可以导出Hill方程的旋转数ρ的上下界,其中所给出的下界估计在文献中是全新的结果.基于对Ermakov-Pinney方程相对全面的理解,我们着重研究了三个非常有代表性的拉格朗日方程的运动稳定性,它们分别是具有指数非线性项的拉格朗日方程x + ex =σ+ h（t）,具有平方非线性项的拉格朗日方程x + x2 =σ+ h（t）和奇异方程x + a（t）x = 1/xγ, x > 0.第三章,我们试图将分析拉格朗日方程运动稳定性的解析方法推广到真正的平面哈密顿系统.为此,我们首先证明了平面线性哈密顿系统的两个重要性质,一个是对其椭圆性和刚性椭圆性的刻画,这是对西班牙数学家Ortega工作的推广.另一个则给出了线性系统和一个广义的Ermakov-Pinney方程周期解的存在性之间的内在联系.进而对一些特殊的平面哈密顿系统,推导出了其椭圆周期解的扭转系数的表达式.由于该表达式非常复杂,截止目前,我们还不能完全理解,但是对于一些比较特殊的系统,包括对具有相对论效应的方程,我们证明了很好的稳定性结果.在第二、三章中,我们发现奇异方程周期解的存在性以及相关估计在研究稳定性的过程中扮演着非常重要的角色,因此我们在第四章独立研究了奇异问题周期解的存在性,所得到的结果揭示了弱奇性和强奇性在周期解存在性方面所起到的不同作用,对于该研究领域具有重要的价值,是对已有文献的重要补充.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 引言和预备知识
• 1.1 研究背景和意义
• 1.2 Sobolev不等式
• 第2章 拉格朗日方程的运动稳定性
• 2.1 引言
• 2.2 Hill方程的相关量
• 2.3 Ermakov-Pinney方程周期解的估计
• 2.4 旋转数的估计
• 2.5 具有指数非线性项的拉格朗日方程的运动稳定性
• 2.6 具有平方非线性项的拉格朗日方程的运动稳定性
• 2.7 奇异方程周期解的扭转性
• 第3章 平面哈密顿系统的运动稳定性
• 3.1 引言
• 3.2 椭圆性与R?椭圆性
• 3.3 广义Ermakov-Pinney方程
• 3.4 一个简单的稳定性结果
• 3.5 具有相对论效应的方程平衡态的稳定性
• 3.6 保积映射的标准型
• 3.7 扭转系数的计算
• 3.8 稳定性结果
• 第4章 奇异周期系统
• 4.1 引言
• 4.2 预备知识
• 4.3 存在性结果–非共振情形
• 4.4 存在性结果–共振情形
• 4.5 非碰撞周期解
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果