论文摘要
构造好码是编码理论的一个基本问题。在组合设计理论与码的构造理论之间存在着紧密的联系。利用某些组合结构可以构造出具有好的性质的码，使码的相关参数达到最优。一个码长为n，码字个数为M，任意两个码字的汉明距离都为d的q-元码被称为（n，M，d；q）等距码。对于任意一个（n，M，d；q）等距码，已经证明了d≤（nM（q-1））／（（M-1）q）(=dopt)。特别当d=dopt时，称该等距码为最优等距码。最优等距码存在的必要条件是dopt为一个整数。如果dopt不是一个整数，则最优等距码不存在，在这种情形下，对于固定的参数n，M，q，码距d满足d=「dopt」的码，称作参数n，M，q固定时的最大极小距离（n，M，d；q）等距码（Maximum Minimum Distance Equidistant Code）。明显地，最大极小距离等距码是在有着相同参数n，M和q的等距码中最好的。我们知道极小距离为d的码可以纠正「（d-1）／2」个错误信息，可以检测出「d／2」个错误信息。因此对于码的极小距离的讨论非常有意义。本文探索了当参数n，M，q固定时的最大极小距离（n，M，d，q）等距码的构造问题。本文是运用组合设计的方法，对上述码的构造问题进行研究。论文的主要内容分为五章。第一章是引言，简要介绍了研究（n，M，d，q）等距码的背景以及必要的预备知识。第二章给出了等距码与等距表的等价关系，阐明了平衡表、正交表与等距表的相关性，进而运用平衡表构造参数符合某种条件的（n，M，d，q）等距码，得到相应的最大极小距离等距码。主要结论有：定理2．2．1如果t是整数，4t-1是素数幂，则存在一个（2（4t-1），4t，4t；2）最优等距码。定理2．2．2若s和t是整数并且st+1是素数幂，则存在（s（st+1），st+1，s（st-t+2）；s+1）等距码。推论2．2．1若s是整数并且2s+1是素数幂，则存在（s（2s+1），2s+1，2s2；s+1）最大极小距离等距码。第三章是运用特殊的区组设计——对称平衡不完全区组设计构造等距码，主要结论有：引理3．2．1若存在对称平衡不完全区组设计（v，k，λ）-SBIBD，则存在（n，v，d；4）等距码，其中n=（2v），d=（2v）-(（2λ）+λ（k-λ）+(2v-2k+λ))。定理3．2．1如果4t-1是素数幂，则存在((24t-1)，4t-1，3t（2t-1）；4)最大极小距离等距码。定理3．2．2如果4t-1是素数幂，则存在((24t-1)，4t，3t（2t-1）；4)最优等距码。第四章运用嵌套平衡不完全区组设计构造等距码，并运用两两正交的拉丁方的已知结果构造嵌套平衡不完全区组设计，进而得到特定参数条件下的最大极小距离等距码。主要结论有：定理4．1．1若存在（v；k1，λ1；k2，λ2）嵌套平衡不完全区组设计，则存在（b1，v，2r-λ1-λ2；1+k1／k2）等距码。推论4．2．1对任意的素数幂q，k1，k2是整数并满足k1≤q，k2＞1以及k2整除k1时，则存在（q；k1，k1（k1-1）；k2，k1（k2-1））嵌套平衡不完全区组设计。推论4．2．2对任意的奇素数幂q，k1，k2是奇整数并满足k1≤q，k2＞1以及k2整除k1时，则存在（q；k1，k1（k1-1）；k2，k1（k2-1））嵌套平衡不完全区组设计。定理4．3．1设q是素数幂，k1，k2都是整数，k1≤q，k2＞1且满足k2整除k1。若|q-（k1+k2）|＜（1+（k2）／（k1））1／2，则存在（q（q-1），q，2k1q-k1（k1+k2）；1+（k1）／（k2））最大极小距离等距码。定理4．3．2设q是奇素数幂，k1≤q是个奇整数，k2＞1是整数并且满足k2整除k1。若|q-（k1+k2）|＜（2（1+（k2）／（k1）））1／2，则存在（（q（q-1））／2，q，k1q-（k1（k1+k2））／2；1+（k1）／（k2））最大极小距离等距码。在第五章，提出了几个有待于进一步展开研究的问题。
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