论文摘要
经典的编码理论以有限域上的向量空间为背景。二十世纪九十年代，人们发现一些高效的二元非线性码可以看作是Z4上线性码在Gray映射下的二元象，有限环上的编码理论获得重要突破。自此，有限环上的编码理论成为编码研究的热点。本文主要研究了整数模2a的剩余类环即Z2a上长为2kn（k≥1，n是奇数）的负循环码及其对偶码，探讨了自对偶负循环码的性质；还研究了GR（2a，m）上长为2k的负循环码的Hamming距离和齐次距离。具体内容如下：1．运用离散的Fourier变换，给出了环Z2a上长为2kn的负循环码的生成多项式和个数的计算公式。2．利用Mattson-Solomon多项式，给出了环Z2a上长为2kn的负循环码的对偶码的生成多项式。3．得到了环Z2a上长为2kn的自对偶负循环码的一些性质，并给出了环Z2a上长为2kn的非平凡自对偶负循环码存在性及其一个充要条件。列举了Z4上码长小于等于60的Gray象是二元线性自对偶循环码的非平凡自对偶负循环码。4．给出了GR（2a，m）上长为2k为的所有负循环码的Hamming距离和齐次距离，特别地，得到了Z4上长为2k为的负循环码的Lee距离，利用Gray映射得到这些负循环码的二元象。