论文摘要
非线性问题在现代科学计算中占有相当重要的地位,由实际问题经过数学模型化后导出的方程(组)往往是非线性的,因此如何更好的合理解决这些非线性方程(组)在近几十年来成为一个非常热门的研究课题。文章研究的主要内容是解非线性方程(组)的迭代法和Adomian级数法,全文共分为四章。在第一章中,主要介绍了非线性问题与迭代法研究的背景和历史。对全文经常用到的几个概念作了交代。由于构造迭代法的一个重要手段是通过几何途径或者结合使用多步法的技巧,所以本章着重对由此方法构造的一些比较重要的方法作了介绍。在第二章中,介绍了基于单点信息的迭代族构造方法,也就是构造一个迭代法只用到在一点处的函数或者导数信息。先通过对一般的二次曲线近似代替函数f与x轴交点作为下一步的迭代值构造一含参数的无理迭代族,再通过近似处理将无理迭代族转化为相应的有理迭代族。给出了相应的收敛性分析以证明新构造的无理与有理迭代族均为三阶收敛的。由于在用二次函数逼近非线性函数f构造迭代法时要进行开方运算,这有时是不方便的,为了避免对根式的计算,在构造迭代法时先对二次方程进行线性化处理,由此构造出一种新型的有理迭代族。通过收敛性分析可知,此迭代族也是三阶收敛的。以上构造的有理迭代格式中均含有对f″的计算,为了避免对函数二阶导数的运算,文中分别用了两种方法对此进行了近似处理。最后在数值例子中分别对迭代族中参数取固定常数与每步自动调整与以往的经典方法进行了比较。当采用参数每步自动调整的方法时,在不增加额外函数与导数值计算的前提下,有较好的收敛效果。在第三章中,介绍了基于两点信息的迭代族构造方法,也就是构造一个迭代法要用到在两个点处的函数或者导数信息。其中用以逼近函数f的函数分别取了抛物线和有理函数,即用抛物线或有理函数与x轴的交点作为下一步的迭代值。当用抛物线法构造时,导出了相应的无理与有理迭代族。当用有理函数法构造时,导出了相应的有理迭代族。通过收敛性分析证明了上面两种方法导出的迭代族均可达到五阶收敛。由于在以上两种有理迭代族中均要对f′(z_n)进行计算,其中z_n是相应迭代的牛顿步,为了避免对f′(z_n)的计算以减少每步迭代所需的开支,文中利用了在两点处的差商代替导数的技巧,在差商代替时如果选择适当的参数,则可使相应免f′(z_n)计算的迭代族为四阶收敛。在最后给出了相应的数值例子,与以往的经典方法进行了比较,以说明新构造的迭代族的有效性。在第四章中,主要讨论了Adomian级数法在构造迭代法时的一些结论。Adomian级数法是美国数学家G.Adomian在80年代初提出的用以解决非线性问题的一种级数分解方法,在近二十多年中被广泛应用在物理等众多科学领域,形成了一股热潮。2003年,Abbasbandy利用Adomian级数法构造了一种解决非线性方程问题的迭代族,并在文中声称可使迭代族达到超三阶收敛甚至更高。在本章中给出了一个收敛性定理,指出了Abbasbandy构造的迭代族至多是三阶收敛的。并且利用Abbasbandy的构造思想,构造了一四阶收敛的迭代族,给出了相应的数值例子以说明新方法的有效性。
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