Lie代数与可积系统研究

论文摘要

本文研究主要包括两个方面,离散的可积方程族的扩展可积模型的生成和连续的多分量可积方程族的生成及其扩展可积模型的生成。一般采取如下步骤:第一步、利用半直和的思想,扩充新构造的或已有的低维的Lie代数获得高维的Lie代数,并构造它们相应的Loop代数;第二步、借助于已构造的代数系统,设计等谱问题推导特定的可积方程族及其相应的可积耦合。在第一章中,概述了孤子理论的产生及其发展、研究状况及孤立子理论研究的现实意义。在第二章中,采用已有的特殊的Lie代数和半直和思想构造新的高维Lie代数,并利用已构造的Lie代数,设计三类不同的等谱问题,利用离散的零曲率方程推演出三个新Bargmann型晶格方程族的扩展的可积模型。在第三章中,首先构造了一个高维的Lie代数G,并对其进行分解,得到一系列的子Lie代数。借助于其中的一个子Lie代数G4,构造了一个多分量的Lie代数FM和它的相应的Loop代数（?）M。借助于（?）M设计等谱问题,利用零曲率方程和二次型迹恒等式获得广义的多分量非线性Schr（o|¨）dinger方程族及其双Hamiltonian结构。最后,扩展Lie代数FM得到它的两个不同的高维Lie代数FM1,FM2和它们相应的Loop代数（?）M1,（?）M2。作为应用,得到两个不同的广义多分量非线性Schr（o|¨）dinger方程族的可积耦合。利用二次型迹恒等式获得其中一个可积耦合的双Hamiltonian结构。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 孤立子理论的产生及其发展
• 1.2 孤立子理论研究概述
• 1.3 孤立子理论研究的意义
• 1.4 本课题研究的主要内容
• 2 离散的可积方程系统
• 2.1 基本理论与方法
• 2.2 Lie代数G的几类半直和
• 2.3 可积的新Bargmann型晶格方程族的可积耦合
• 3 连续的可积方程系统
• 3.1 基本理论与方法
• 3.2 Lie代数G和它的分解子代数
• 3.3 广义的多分量非线性Schr（o|¨）dinger方程族及其双Hamiltonian结构
• M的扩展和方程族（3.3.6）的扩展（一）'>3.4 Lie代数F_M的扩展和方程族（3.3.6）的扩展（一）
• M另一个扩展和方程族（3.3.6）的扩展（二）'>3.5 Lie代数F_M另一个扩展和方程族（3.3.6）的扩展（二）
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士阶段所完成的论文
• 附录