一类多维非线性波动方程组的Cauchy问题

论文摘要

本文共分三章.第一章为引言,给出了本文要研究的方程模型的来历,一些已有的结果和要用到的记号.在第二章中,我们研究如下n维非线性广义波方程组的Cauchy问题utt（x,t）－σΔu（x,t）－Δutt（x,t）=Δf（v（x,t））,x∈Rn,t>0, （1）utt（x,t）－Δutt（x,t）=△g（v（x,t））,x∈Rn,t>0, （2）u（x,0）=u0（x）,ut（x,0）=u1（x）,x∈Rn, （3）v（x,0）=v0（x）,vt（x,0）=v1（x）,x∈Rn, （4）其中u（x,t）和v（x,t）是未知函数,△为n维Laplace算子,σ>0为常数,f（y）和g（y）是给定的非线性函数,u0（x）,u1（x）,v0（x）和v1（x）是定义在Rn上的初值函数.为此,我们将Cauchy问题（1）-（4）写成以下矢量形式Wtt－△Wtt=ΔF（u,v）,x∈Rn,t>0, （5）W（x,0）=W0（x）,Wt（x,0）=W1（x）,x∈Rn, （6）其中然后利用压缩映射原理证明Cauchy问题（5）,（6）,在空间C2（[0,∞）；Hs（Rn）×Hs（Rn）)（s>n/2）存在惟一的整体广义解和在空间C2（[0,∞）；Hs（Rn）×Hs（Rn）)（s>2+n/2）存在惟一的整体古典解,主要结果如下：定理1假定s>n/2,W0,W1∈Hs×Hs,f∈C[s]+1（R）,f（0）=0,g∈C[s]+1（R）,g（0）=0,则Cauchy问题（5）,（6）有惟一的局部广义解W∈C2（[0,T0）,Hs×Hs),其中[0,T0)是解存在的最大时间区间.进一步地,若则T0=∞.现在,我们证明Cauchy问题（5）,（6）解的延拓条件（7）转化为以下的解的延拓条件（8）,即证明以下定理.定理2假设s>n/2,W0,W1∈Hs×Hs,f∈C[s]+1（R）,f（0）=0,g∈C[s]+1（R）,g（0）=0,则Cauchy问题（5）,（6）有惟一的局部广义解W∈C2（[0,T0）；Hs×Hs),其中[0,T0)是解存在的最大时间区间,进一步地,若则T0=∞.定理3假设s≥3/2+n/2,W0,W1∈Hs×Hs,Λ-1W1∈L2×L2,f∈C[s]+1（R）,f（0）=0,g∈C[s]+1（R）,g（0）=0,z（v）=∫0vg（y）dy≥0,若存在γ,满足使得其中A,B>0为常数,则Cauchy问题（5）,（6）有惟一整体广义解W∈C2（[0,∞）,Hs×Hs).注1若s>2+n/2,则Cauchy问题（5）,（6）的整体广义解W（x,t）是整体古典解.定理4设W0,W1∈Hs×Hs,v1,Λ-1v1∈L2,g∈C（R）,z（v0）∈L1,f（v）=v,且9（y）y≤2（1+2a）z（y）,（?）y∈Rn,其中a>0为常数,如果满足下面三个条件之一：（1）E（0）<0,（2）E（0）=0,〈Λ-1v1,Λ-1v0〉+<v1,v0〉>0,其中则Cauchy问题（5）,（6）的广义解或古典解W（x,t）在有限时刻爆破.第三章证明Cauchy问题（5）,（6）在空间C（[0,∞）；（Wm,p∩L∞∩L2）×（Wm,p∩L∞∩L2）)（m≥0）中存在惟一的整体广义解和在空间C3（[0,∞）；（Wm,p∩L∞∩L2）×（Wm,p∩L∞∩L2）)（m≥2+n/p）有惟一的整体古典解.主要结果如下：定理5假设W0,W1∈（Wm,p∩L∞∩L2）×（Wm,p∩L∞∩L2）,f,g∈Cm+l（Rn）,且f（0）=0,g（0）=0,那么Cauchy问题（5）,（6）有惟一局部广义解W∈C2（[0,T0）；（Wm,p∩L∞∩L2）×（Wm,p∩L∞∩L2）)（m≥0）,其中[0,T0)是解存在的最大时间区间,进一步地,若则T0=∞.定理6假设（1）W0,W1∈（Wm,p∩L∞∩L2）×（Wm,p∩L∞∩L2）,f,g∈Cm+1（Rn）（m≥0）.（2）f,g∈Cm+1（Rn）,f（0）=0,g（0）=0,且z（v）>0,若存在γ满足使得其中A,B>0为常数,则Cauchy问题（5）,（6）有惟一整体广义解W∈C3（[0,∞）；（Wm,p∩L∞∩L2）×（Wm,p∩L∞∩L2）)和Λ-1ut∈C（[0,∞）；L2).引理1假设定理6的条件成立,f,g∈Ck+m+1（R）,其中k≥0为任意常数,则Cauchy问题（5）,（6）的广义解W（x,t）∈Ck+3+1（[0,T]；（Wm-l,p∩L∞∩L2）×（Wm-l,p∩L∞∩L2））,（（?）T>0）,0≤l≤m.定理7设引理1的条件成立,且k=0,l=0,m>2+n/p,则Cauchy问题（5）,（6）有惟一整体古典解W（x,t）∈C3（[0,T]；（Wm,p∩L∞∩L2）×（Wm,p∩L∞∩L2））,即W（x,t）∈C3（[0,T]；（CB2（Rn）∩L∞∩L2）×（CB2（Rn）∩L∞∩L2））,其中CB2（Rn）由那些C2（Rn）中在Rn上所有有界的函数组成.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 引言
• 2（[0,∞）;H^s（Rⁿ）×H^s（Rⁿ）)空间中整体解的存在性,惟一性以及解的爆破'>2 Cauchy问题（1.30）,（1.31）在C²（[0,∞）;H^s（Rⁿ）×H^s（Rⁿ）)空间中整体解的存在性,惟一性以及解的爆破
• 2.1 局部解的存在和唯一性
• 2.2 Cauchy问题（1.30）,（1.31）整体解的存在和唯一性
• 2.3 Cauchy问题（1.30）,（1.31）解的爆破
• m,p∩L^∞n L²)×(W^m,p∩L^∞∩L²))空间的整体解的存在性和惟一性'>3 Cauchy问题在C（[0,∞）;(W^m,p∩L^∞n L²)×(W^m,p∩L^∞∩L²))空间的整体解的存在性和惟一性
• 3.1 局部解的存在和唯一性
• 3.2 整体解的存在和唯一性
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果