环上有限生成投射模的自由性

论文摘要

上世纪20–30年代,现代层论观点被系统的引入代数几何学。在这一观点中,抽象代数“Varieties”上的矢量丛可被定义为“局部自由层”,平凡的矢量丛则对应自由层。Serre在1955年的著名论文[25]中提出如下问题:“任意域k上多项式环k[t1,t2,...,tn]上的有限生成投射模是否一定自由?”n为0,1时这都是成立的,但n 2时问题却是较为复杂的。为此,数学家们工作了大约20年,猜想才最终获得证实。1976年美国数学家Quillen和前苏联数学家Suslin几乎同时利用不同的技巧证明了Serre问题。紧接着Bass总结先前的研究结果结合Quillen的证明提出了Bass-Quillen猜测:若K是交换正则局部环,Krull维数d <∞,是否R = K[t1,t2,···,tn]上任意有限生成投射模P是由K扩张而得。迄今对这一问题的最好结果是Lindel-Lu¨tkebohmert和Mohan-Kumar分别给出的当K是域上“formal power series”环时猜测成立[12]。在对投射模的研究过程中数学家们认识到Bass-Quillen问题与其他很多关于多项式环的问题的密切关系,这些问题的研究很多大大推动了Bass-Quillen问题研究中新方法,新技巧的引入,得到了很好的结果。同时,也为一些猜测的证明提供了有力的方法例如多项式环上有限生成问题:“Eisenbud-Evans-Forster猜测”。本文主要论述关于Serre问题的解决方案和有限生成投射模问题。内容分为:第一章围绕“Bass-Quillen猜测”和“Eisenbud-Evans-Forster猜测”介绍了有限生成投射模问题的历史背景和研究现状。第二章简洁的叙述了Quillen和Suslin证明Serre问题中所需要的基本知识,讨论了局部化和投射模的一些基本性质。第三章综述了Serre问题的三种不同的解决方案（主要是Quillen和Suslin的方法）,对一些命题给出了新的证明和简单推广（例如引理3.8,推论3.9）。第四章围绕环上有限生成模的生成子问题的经典定理Eisenbud-Evans定理讨论了有限生成投射模的消去性,环的Stable Range,及生成子的估计问题;给出半局部环上有限生成模的生成元估计的一个结论,并用此给出半局部环上有限生成投射模均自由的两个不同的证明。并简介了“Eisenbud-Evans-Forster猜测”。第五章主要简列了作者本人对投射模自由性问题的几个结果:

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 概述
• 1.1 Bass-Quillen问题 .
• 1.1.1 Serre问题的提出
• 1.1.2 Serre问题的解决，Bass-Quillen猜测
• 1.2 多项式环上的有限生成投射模
• 1.2.1 多项式环上的有限生成模－Eisenbud-Evans-Forster猜测的解决
• 第二章 预备知识
• 2.1 局部化
• 2.1.1 局部化的基本性质
• 2.1.2 局部化的正合性
• 2.2 投射模的基本性质
• 第三章 Serre’s Conjecture
• 3.1 预备知识：Horrocks’Theorem
• 3.2 Quillen’s proof of Serre’s Conjecture-（Local Global principle）
• 3.3 Suslin’s proof of Serre’s Conjecture
• 第四章 模的有限生成问题
• 4.1 Theorem of Eisenbud-Evans
• 4.2 Eisenbud-Evans 定理的应用
• 第五章 投射模的自由性问题
• 1,…,x_n]）'>5.1 Hilbert零点定理的极大谱形式-Spmax（k[x₁,…,x_n]）
• 5.2 投射模的自由性
• 致谢
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• 参考文献表