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一致域、John域和双曲等距映射的特征及拟测地线的拟凸性

2020-11-29阅读(545)

一致域、John域和双曲等距映射的特征及拟测地线的拟凸性

论文摘要

为了研究复平面C上的bi-Lipschitz映射的近似理论和单叶性问题,1961年,John引进了一类域.此类域于1978年被Martio和Sarvas命名为John域.为了推广Ahlfors关于拟圆中共形映射单叶性性质的研究,1978年,Martio和Sarvas提出了一类新的域:一致域.众所周知,关于拟圆性质的研究已有许多,并已得到广泛应用.由于John域和一致域均为拟圆的推广,从而这两类域能保持拟圆的哪些性质、又具有哪些独特性质等受到了人们极大的关注.双曲空间Hn中关于Poincaré度量的等距映射是Klein群和双曲流形中的基本组成元素,故它们具有哪些特性是一个基本而又重要的问题.本学位论文主要内容包括两个方面.第一个方面,利用拟双曲度量、jD度量、Apollon度量及其对应的内度量等来刻划一致域和John域,得到了一系列结果,从而解决了由Broch、H（?）st（?）、Ponnusamy、Sahoo、V（?）is（?）l（?）在《Results in Mathematics》等上提出的三个公开问题.另一方面,讨论了Hn中关于Poincaré度量的等距映射的特征问题,并完全解决了最近由李保奎和姚国武在《Mathematical Proceedingsof Cambridge Philosophy Society》上提出的猜测.全文共由九章构成,具体安排如下.第一章,主要介绍了研究问题的背景和得到的主要结果.第二章,讨论了Euclid空间Rn（n≥3）中拟共形映射中的Riemann映射定理,证明了Rn中的有界凸域一定是拟球,从而推广了已有的相关结果,也说明拟共形映射中的Riemann映射定理对Rn（n≥3）中的有界凸域是成立的.第三章,利用双曲度量和λ-Apollon度量得到了C中的Jordan域是John圆的一个充分条件,同时构造了两个例子说明此结果的逆不成立.从而完全解决了Broch于2004年提出的一个猜测.第四章,利用测地线的最大最小性质、拟双曲度量及Apollon度量等,得到了John域的三条特征.这些特征是Gehring、Hag、Herron及Broch等所得相应结果的推广.第五章,主要研究Apollon内度量和一致域之间的关系.利用Apollon内度量,得到了一致域的一个充要条件.此结果说明,我们完全解决了H（?）st（?）、Ponnusamy、Sahoo于2006年提出的公开问题.同时,本文讨论了拟迷向域、Apollon拟凸域和A-一致域彼此之间的关系.第六章,作为第五章中讨论的继续,利用类似于第五章中的方法,讨论了Apollon内度量和John域之间的关系,得到了有界Jordan域是John域的一个充分条件,从而完善了第五章中的相应讨论.第七章,研究了Rn中John域的可分解性和可去性.在此章中,我们定义了John域可分解性的概念,证明了Rn中的域是John域当且仅当此域是John域可分解的;同时还得到了Rn中的任意一个John域去掉其中有限个点后还是John域,并给出了所得结果的应用.我们还构造例子说明结论中的条件“有限个点”的最佳性.第八章,主要研究了Rn中一致域的可分解性及实赋范向量空间中拟测地线的拟凸性.首先,我们在Rn中定义了一致域可分解性这一概念,它是拟共形可分解性的推广.利用构造的方法,证明了Rn中的域是一致域当且仅当此域是一致域可分解的.作为应用,我们构造实例说明Rn中存在不是拟球的一致域.其次,我们证明了实赋范向量空间中的拟测地线是拟凸的.此结果肯定回答了V（?）is（?）l（?）于2005年提出的一个公开问题.第九章,讨论了Hn中关于Poincaré度量的等距映射的特征问题.我们的结果是:Hn中把Υ维双曲面（1≤Υ＜n）映入（into）Υ维双曲面的映射是等距映射的充要条件是它是满射.此结果肯定回答了李保奎和姚国武最近提出的一个猜测.

论文目录

  • 摘要
  • Abstract
  • 第一章 绪论
  • 1.1 双曲度量、拟双曲度量、jD度量、Apollon度量以及Apollon内度量、λ-Apollon度量
  • 1.2 一致域
  • 1.3 John域
  • 1.4 双曲等距映射
  • 第二章 高维空间中的有界凸域
  • 2.1 引言及主要引理
  • 2.2 定理的证明
  • 第三章 双曲度量、λ-Apollon度量和John圆
  • 3.1 引言
  • 3.2 猜测3.1.1的充分性证明
  • 3.3 主要定理的证明
  • 第四章 测地线的最大最小性质、拟双曲度量、Apollon度量和John圆
  • 4.1 引言
  • 4.2 定理4.1.1和定理4.1.2的证明
  • 4.3 定理4.1.3和定理4.1.4的证明
  • 第五章 Apollon内度量和一致域
  • 5.1 引言
  • 5.2 预备知识
  • 5.3 定理5.1.1的证明
  • 5.4 几种特殊域之间的关系
  • 第六章 Apollon内度量和John域
  • 6.1 引言
  • 6.2 主要引理
  • 6.3 定理6.1.1的证明
  • 第七章 John域的可分解性和可去性
  • 7.1 引言
  • 7.2 主要引理
  • 7.3 定理7.1.1的证明
  • 7.4 定理7.1.2的证明
  • 7.5 定理7.1.3的证明
  • n中一致域的可分解性和实赋范向量空间中拟测地线的拟凸性'>第八章 Rn中一致域的可分解性和实赋范向量空间中拟测地线的拟凸性
  • 8.1 引言
  • 8.2 一则引理
  • 8.3 定理8.1.1的证明
  • 8.4 定理8.1.2和例8.1.1的证明
  • 8.5 凸域中的拟测地线
  • 第九章 双曲空间中的等距映射
  • 9.1 引言
  • 9.2 定理9.1.1的证明:n=2
  • 9.3 定理9.1.1的证明:n≥3
  • 结论
  • 参考文献
  • 攻读博士学位期间完成的论文
  • 致谢

    • 相关论文文献

    • [1].John圆与双曲度量[J]. 数学进展 2011(02)
    • [2].拟共形映射和John域[J]. 数学杂志 2008(03)
    • [3].强John域中的Lipschitz扩张和拟双曲度量[J]. 数学年刊A辑(中文版) 2009(02)
    • [4].拟双曲度量与John圆[J]. 数学学报 2008(03)
    • [5].L_∞ John椭球体的连续性[J]. 平顶山学院学报 2014(05)
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    • [7].John圆盘的判定[J]. 焦作师范高等专科学校学报 2009(02)
    • [8].从John的《语义学》看语义模糊和歧义——以“RUN”&“RING”为例[J]. 戏剧之家 2018(30)
    • [9].信仰型杀手的人格研究——以电影《七宗罪》中的角色John为例[J]. 人民论坛 2013(05)
    • [10].δ-John域上共轭P-调和类型张量的Hardy-Littlewood积分估计[J]. 河北联合大学学报(自然科学版) 2012(01)
    • [11].John基等价条件的推广[J]. 上海大学学报(自然科学版) 2010(04)
    • [12].John、Dirk和Javier受聘为中国动物卫生与流行病学中心客座教授[J]. 中国动物检疫 2014(10)
    • [13].好莱坞经典大片中英语常见人名隐喻研究——以“John”及其变体昵称词为例[J]. 湖北函授大学学报 2014(15)
    • [14].John区域的等价条件[J]. 数学年刊A辑(中文版) 2008(06)

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