论文摘要
本学位论文致力于研究Lp-空间中凸体几何的度量不等式和极值问题,隶属于Lp-Brunn-Minkowski理论（又称为Brunn-Minkowski-Firey理论）领域,该领域是近十多年来在国际上发展非常迅速的一个几何学分支。本文主要利用Lp-Brunn-Minkowski理论的基本概念、基本知识和积分变换方法,研究了Lp-空间中凸体几何领域诸多几何体:L2-投影体,Lp-截面体,混合截面体,混合新几何体Γ-p,iK以及由我们新引入的Lp-仿射表面积、Lp-混合均质积分、Lp-混合仿射表面积所构成的度量不等式和极值问题。利用∏2K是一个中心在原点的椭球这一特殊性质,在第二章给出了投影不等式Petty猜想的Lp-形式（p=1时即是Petty投影不等式猜想本身）在当p=2时,其逆形式的两个结果,这些结果是对投影不等式Petty猜想的完善,同时建立了L2-投影体∏2K与标准化下经典投影体∏K的包含关系,还解答了一个约束最小化问题。在第三章中,我们依据Gardner和Giannopoulos,V.Yaskin和M.Yaskin,C.Haberel和M.Ludwig提出的概念,合理地用不同的符号重新定义了Lp-截面体IpK。对这一几何体,给出了算子Ip的线性等价性,及其当p≤-1时的单调性结果,同时将Lp-截面体和Lp-对偶混合均质积分（?）-p,i（K,L）相结合,在正规化Lp-径向加或者Lp-径向线性组合的条件下,分别建立了关于Lp-截面体的对偶均质积分形式的Brunn-Minkowski不等式及其隔离加强形式。Lutwak推广了Winterniz单调性问题,即得到:假设K∈Fn,且E是一个椭球,以及K的投影体的体积不超过E的投影体的体积,那么Ω（K）≤Ω（E）成立。在第四章,利用在Lp-混合体积和Lp-广义仿射表面积之间所建立的等价关系,我们把上述Lutwak的结果推广到Lp-形式,而且作为这种等价关系的应用,建立了Lp-混合均质积分形式的Aleksandrov的投影定理和Petty-Schneider定理。在凸几何中,凸体的极体是一个非常重要的研究对象。在最重要的仿射等周不等式中,Blaschke-Santaló不等式和Petty投影不等式是两个与凸体的极体密切相关的不等式,可是对于星体而言,其极体却并不一定存在。在第五章,利用Moszy（?）ska介绍的星对偶概念,将混合截面体的星对偶与对偶均质积分结合起来,在调和p-组合或者p-径向线性组合的条件下,分别建立了关于混合截面体的星对偶的对偶均质积分形式的Brunn-Minkowski不等式。根据Lutwak,Yang和Zhang提出的新几何体Γ-pK,我们在第六章引入混合新几何体Γ-p,iK的概念—新几何体是它的特殊情形。对混合新几何体Γ-p,iK,我们获得了算子Γ-p,i的五个基本性质,建立了Γ-p,iK的体积V(Γ-p,iK)与凸体K的体积V（K）之间的关系,以及关于混合新几何体Γ-p,iK的Shephard类问题。此外,我们还在第七章研究了Lp-混合仿射表面积和Lp-质心体的相互关系,获得了Busemann-Petty仿射质心不等式的广义Lp-形式,得到了关于Lp-混合仿射表面积的Blaschke-Santaló不等式,同时,获得了对偶Urysohn不等式的一般形式,最后,利用p-Blaschke平行体的定义,我们建立了与Marcus-Lopes,Bergstrom和Ky Fan不等式的一种类似形式。
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