一类具有奇异积分项的波动方程的Cauchy问题

论文摘要

本文共分四章:第一章为引言,给出了本文要研究的问题,方程模型来源和推导,本文要用到的记号及部分结论;第二章研究一类具有奇异积分项的波动方程的Cauchy问题在一定条件下局部解的存在性和惟一性;第三章通过一些积分估计证明了第二章所述Cauchy问题整体解的存在性和惟一性;第四章首先证明了一个推广的凸性引理,然后通过它讨论了第二章所述Cauchy问题的解在一定条件下的有限时刻blow-up,并给出了解blow-up的一个充分条件.具体内容如下:在第二章中,我们利用压缩映射原理研究如下一类具有奇异积分项的波动方程的Cauchy问题的局部解的存在性和惟一性.其中u（x,t）为未知函数,f（s）为给定的非线性函数,φ（x）和ψ（x）为已知的初始函数,J>0为常数,c2=1+（?）;下标t,x分别表示对t,x求偏导数;H为Hilbert算子,其定义为:这里P.V.表示Cauchy主值.为此,我们首先讨论了对应线性方程的Cauchy问题的局部解的存在性和惟一性,并由此得到了一些重要估计;然后利用Fourier变换的相关知识把Cauchy问题（1.1）,（1.2）的解的存在惟一性问题化归为求一个积分方程的解,对此积分方程,我们通过压缩映射原理得到了其解的存在惟一性,从而可得Cauchy问题（1.1）,（1.2）的解的存在惟一性.主要结果为:定理1假设（?）,则问题（1.1）,（1.2）存在惟一的局部解u（x,t）∈C（0,T0;Hs）∩C1(0,T0;Hs-2),其中T0是解u（x,t）的最大存在时间.进一步,若则T0=∞,即解u（x,t）∈C（0.∞;Hs）∩C1(0,∞;Hs-2)是整体解.第三章首先得到了一个整体解存在的充要条件并通过能量恒等式得到了一些积分估计,然后证明了Cauchy问题（1.1）,（1.2）整体解的存在惟一性.主要结果如下:定理2设（?）,且（?）,并设T>0是Cauchy问题（1.1）,（1.2）的解u（x,t）存在的最大时间,则T<∞的充要条件是定理3设（?）且F（φ）∈L1,则当f（u）满足下列条件之一时,问题（1.1）,（1.2）存在惟一的整体解（?）.（1）F（u）=（?）;（2）f’（u）是下有界的,即存在常数A0,使得对任意的u∈R有f’（u）≥A0.在第四章中,首先证明了一个推广的凸性引理,并由此得到了问题（1.1）,（1.2）的解在有限时刻blow-up的一个充分条件.主要结果如下:定理4假定Φ（t）是一个正值二次可微函数,当t≥0时满足不等式其中α> 0,β≥0, A≥0,B≥0均为常数.如果则有Φ（t）→∞,当t→T≤T*时.这里（?）.定理5设（?）,且存在常数α>0,使得对任意的u∈R有那么Cauchy问题（1.1）,（1.2）的解u（x,t）在有限时刻blow-up,如果初始值满足下列条件之一:（1）E（0）<0;（2）E（0）=0,（?）;（3）E（0）>0,（?）.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 第二章 Cauchy问题（1.1）,（1.2）局部解的存在性与惟一性
• 第三章 Cauchy问题（1.1）,（1.2）整体解的存在性
• 第四章 Cauchy问题（1.1）,（1.2）解的有限时刻blow-up
• 参考文献
• 致谢