微分方程组精确解及其解的规模的机械化算法

论文摘要

本文研究数学物理机械化方面的若干问题。主要研究微分方程（组）,特别是在力学、空气动力学、等离子体物理、生物物理和化学物理等现代科学技术中引出的非线性偏微分方程（组）的对角化和求解的机械化算法,包括偏微分方程（组）的精确求解算法,对合检验算法及其表征形式解空间大小的维效向量的算法,并予以程序实现。 第一章介绍本文涉及的学科主要是数学物理机械化的多方面的发展,围绕微分方程与计算机代数的关系,简述了关于数学物理机械化方面国内外研究和发展的概况,最后介绍了本文的主要工作。 第二章在C-D对理论框架下考虑微分方程（组）精确解的构造。介绍了C-D对理论的基本内容和思想,总结了构造C-D对的方法;基于AC=BD的思想,利用微分伪带余除法,提出一个相对统一的构造非线性发展方程精确解的机械化模式,该模式可以囊括现有的许多求精确解的方法（tanh方法,扩展tanh方法,Riccati方法,投影Riccati方法,扩展Riccati方法等“辅助方程方法”以及经典求解方法如B（?）cklund变换,Daboux变换方法和李群方法）。 第三章提出计算非线性发展方程精确解的两个机械化算法一变系数广义投影Riccati方法和新扩展Riccati方程方法。以（2+1）维广义浅水波方程、（2+1）维高阶Broer-Kaup方程组、磁场中凝聚态（BEC）方程、（3+1）维KP方程、（2+1）维变系数Broer-Kaup方程组等高维方程和方程组为例,说明了算法的有效性。本章还给出扩展Riccati方程方法的一个推广,推广后的算法可以获得非线性发展方程的更多类型的精确解。 第四章研究微分方程组的对角化和求解问题。提出新的计算微分代数几何消元方法,将以前只适用于线性微分方程组的微分消元方法推广到了非线性情形。将微分方程组化为单个微分方程,可用来构造一大类非线性偏微分方程组的一般解;并利用反逆法研究非线性偏微分方程组的对角化问题,给出了一类非线性偏微分方程组可对角化和线性化的充要条件,为进一步研究微分方程组的求解问题和等价问题提供了有效途径。 第五章介绍了有关外微分方程组的理论及其在偏微分方程组中的应用,给出了一个求偏微分方程组的Cartan示性数及其Cartan对合检验的算法,并在Maple平台上予以实现。 第六章综合利用Reid关于初始条件的算法和Cartan示性数的涵义,在最小意义下提出了一个合理的能唯一确定的衡量微分方程组形式解空间大小的概念一“维数向量”

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 数学机械化
• §1.2 数学物理机械化
• §1.2.1 Riquier-Janet理论
• §1.2.2 Cartan-K（?）hler理论
• §1.2.3 微分方程组形式理论
• §1.2.4 微分代数，微分消元理论
• §1.2.5 吴特征列方法与几何定理证明
• §1.2.6 微分Galois理论，符号积分
• §1.2.7 对称分析
• §1.2.8 微分方程（组）的求解
• §1.3 本文的选题和主要工作
• 第二章 微分方程（组）求解的AC=BD模式
• §2.1 AC=BD模式概述
• §2.2 微分伪带余除法
• §2.3 微分方程（组）求解的统一模式
• §2.3.1 经典的变换方法
• §2.3.2 辅助方程法
• 第三章 非线性发展方程（组）的精确解算法
• §3.1 变系数广义投影Riccati展开法及其应用
• §3.2 新的广义Riccati展开法
• §3.3 新的扩展Riccati方程方法
• §3.4 改进的扩展Riccati方程方法
• 第四章 偏微分方程组的对角化方法
• §4.1 微分代数消元法
• §4.1.1 微分代数消元法—线性情形
• §4.1.2 微分代数消元法—一般情形
• §4.2 几类可化为热传导方程的非线性偏微分方程
• §4.2.1 一类带有任意函数的非线性偏微分方程
• §4.2.2 一类带有四个任意函数的变系数广义热传导方程
• §4.3 反逆法与微分方程组对角化
• §4.3.1 反逆法及其应用
• §4.3.2 —类非线性偏微分方程组的对角化
• 第五章 偏微分方程（组）的Cartan对合检验算法
• §5.1 外微分方程组与Pfaffian方程组
• §5.2 积分元与Cartan示性数
• §5.3 约化Cartan示性数与对合检验
• §5.4 微分方程组的Cartan检验算法
• 第六章 微分方程组形式解空间的规模—维数向量
• §6.1 标准型理论及其对解的规模的描述性定义
• §6.2 偏微分方程组形式解空间的规模—维数向量
• §6.3 应用实例
• 参考文献
• 结束语
• 博士期间发表的论文、参加的课题以及获奖情况
• 创新点摘要
• 致谢
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