论文摘要
本文研究一类具非线性源完全非线性抛物方程的Cauchy问题（?）u/（?）t=uq|Δu|m-1Δu+kup，x∈RN，t＞0，u（x，0）=u0（x），x∈RN，其中m≥1，q∈R，p＞0，k＞0，且0≤u0∈C0（RN）∩W2，m+1（RN）。当q=0时，这类方程就是所谓对偶多孔介质方程。而当m=1，q＜1又恰是含内源的渗流方程。由于方程完全非线性，当Δu=0可能发生退化，而当u=0时方程在q＞0时具有退化性而在q＜0又具有奇异性，本文我们考虑方程的解是强解。本文的目的旨在讨论p的两个临界指标，即爆破指标pc和整体存在性指标p0。在该问题的研究中我们发现扩散系数的指数q对两个临界指标有重要的影响，事实上，我们发现m存在临界值N/2。当m≥N／2，扩散系数的指数q存在三个阈值q1=0，q2=1，q+3=m。而当m＜N／2，q存在四个阈值q0=（N-（N+2）m/（N-2m），q1=0，q2=1，q3=m。为方便叙述，若m≥N／2，记q0=-∞，我们证明了如下结论（1）当q∈（-∞，q0）时p0=1，pc=1。（2）当q∈[q0，q1）时p0=1，pc=m（1+2（1-q）/N）)+q。（3）当q∈[q1，q2)时p0=1，pc=q+m（1+2/N）。（4）当q∈[q2，q3)时p0=1，pc=q+m（1+2q/N）。（5）当q∈（q3，+∞）时p0=q+m，pc=q+m（1+2q/N）。为了证明上述结论我们借鉴了Galaktionov[2]中对对偶多孔介质方程使用的容积法，并在此基础上对问题的解做出了必要的先验估计，进一步，我们构造了适当的上，下解，就各种不同的情形研究了解的整体存在性和有限时刻的爆破，从而确定了问题的两个临界指标。