解第二类非线性积分方程的小波Galerkin方法

论文摘要

本文延续了论文[1, 2]的课题研究,并且分别提出了求解第二类非线性Fredholm和Volterra积分方程的小波Galerkin方法.这些积分方程在许多物理、工程等问题中用作数学模型并且在利用边界元法求解偏微分方程时有着广泛的应用.近年来许多科学工作者利用Galerkin方法和小波配置方法对第二类线性Fredholm和Volterra积分方程给出了有效的数值解法.关于第二类非线性Fredholm和Volterra积分方程,文献[2]应该引起我们的注意. Y. Mahmoudi在文献[2]中利用Legengre小波给出了求解第二类非线性Fredholm和Volterra积分方程的小波Galerkin方法,并且得出了满意的结果.但是,在严格意义下,文献[2]中利用的Legendre小波不是小波函数而是尺度函数.本文首先构造了空间S kn [a , b ]（限制在区间[a , b ]内次数不超过k的分段多项式组成的空间,其中区间[a , b ]内有n个均匀的分点）的一类标准正交Legendre小波基.并且这类小波基是不连续的而且具有紧支集.本文利用所构造的正交Legengre小波分别提出了求解非线性Fredholm和Volterra积分方程的小波Galerkin方法.利用在区间[a , b ]上构造的Legendre小波对非线性积分方程的进行离散化,将非线性积分方程转化为非线性代数方程组,所得到的非线性代数方程组可以利用Newton迭代法进行求解.此外,本文对求解非线性积分方程的小波Galerkin方法进行了收敛性分析并且得出了解的误差估计.并且,我们给出了三个数值计算例子,给出的三个数值例子的计算结果表明了我们利用的小波基是稳定的而且也说明了提出的小波Galerkin方法可以通过较少的运算得到较精确的计算结果.本文的小波Galerkin方法可以推广应用,一方面可用于求解第二类非线性Fredholm和Volterra积分方程和方程组、线性和非线性微分-积分方程组.另一方面,也可以将有限元方法理论和小波方法结合起来可以改善有限元方法数值解的精确性.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 表索引
• 图索引
• 第一章 预备知识
• 1.1 小波 Galerkin 方法介绍
• 1.2 投影法的一般理论
• 1.2.1 投影算子
• 1.2.2 解算子方程的投影方法
• 1.2.3 收敛性和稳定性
• 第二章 小波基函数
• 2.1 多尺度分划
• 2.2 分段多项式空间
• 2.3 多尺度正交小波基
• 2.3.1 递归构造方法
• 2.3.2 Legendre小波基的计算
• 第三章 小波Galerkin 方法
• 3.1 函数逼近
• 3.2 解非线性Fredholm积分方程的小波Galerkin方法
• 3.3 解非线性Volterra积分方程的小波Galerkin方法
• 3.4 收敛性和误差估计
• 结论
• 参考文献
• 附录
• 攻读硕士学位期间取得的研究成果
• 致谢
• 附：答辩委员会决议