一维非线性晶格模型中两振子束缚态的研究

论文摘要

孤子是自然界中普遍存在的非线性现象,既存在于宏观的物理体系,也存在于微观的物理体系中。作为微观体系模型的非线性原子晶格模型中孤子的研究一直是人们关注的热点。特别是自1988年,Sievers等人发现了因晶格离散性与非线性共同作用而形成的内禀局域模式（又称离散呼吸子）以来,大量的研究工作相继展开。在某些晶格体系中,量子效应对体系的性质有着至关重要的影响,应该加以考虑。因此,探测非线性量子晶格中的离散呼吸子正成为人们研究的热点。近年来,人们通过对Bose-Hubbard、量子Klein-Gordon模型等的研究,发现存在于这些非线性晶格模型中的两振子束缚态在关联函数的刻画下,显示出与离散呼吸子类似的粒子性质。目前,人们一般认为这种两振子束缚态就是最简单的量子呼吸子。一维量子非线性晶格模型虽然在形式上比较简单,但它仍旧是一个量子多体问题。在动力学问题的处理上,十分复杂;因此,我们必须借助一定的近似方法进行求解。本文中,我们采用了一种数值计算的近似方法来求解量子Fermi-Pasta- Ulam -β模型的本征值问题,以期探讨离散呼吸子的量子对应体,这对理解低维材料中的能量输运等具有重要意义。本文共分四章。在第一章中,我们首先对非线性科学作了简单介绍,回顾了孤子的发展历程,并简要介绍了几种具有孤子解的非线性方程。第二章中,我们介绍了几种典型的非线性晶格模型以及非线性晶格模型中孤子的研究现状。第三章介绍了一维量子非线性晶格中振子束缚态的研究状况。主要就Bose-Hubbard模型和Klein-Gordon晶格模型中的两振子束缚态进行了展开。在第四章,我们采用粒子数守恒近似对Fermi-Pasta-Ulam -β模型进行了量子化处理。然后,在数态基矢表象下,研究了体系的量子数为2的两振子束缚态。结果显示,是体系的非线性势导致了体系本征能谱中一支离散能带的出现。同时,我们还发现能谱布里渊区中心的带隙要大于布里渊区边界处的带隙。随后,对该离散带的分析表明体系可能存在三种不同类型的两振子本征束缚态。此外,我们还发现,体系的波数对这种束缚态有着重要的影响。最后我们对本论文的工作进行了总结,并对以后的工作提出了一些展望。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 混沌与分形简介
• 1.3 非线性系统中的孤子
• 1.3.1 孤子的发现与历史回顾
• 1.3.2 几种典型的孤子方程及其孤子解
• 1.3.2.1 KdV 方程 钟型孤子
• 1.3.2.2 NLS 方程包络孤子
• 1.3.2.3 其它典型非线性方程及相应的孤子解
• 1.4 孤子研究的意义
• 第二章 非线性晶格中的孤子
• 2.1 引言
• 2.2 典型的非线性晶格模型简介
• 2.2.1 FPU 模型
• 2.2.2 KG 模型
• 2.2.2.1 FK 模型
• 4 模型'>2.2.2.2 φ⁴模型
• 2.3 非线性晶格中孤子的研究现状
• 第三章 量子非线性晶格中的振子束缚态
• 3.1 引言
• 3.2 研究方法简介
• 3.2.1 含时变分法
• 3.2.2 数态方法
• 3.3 量子非线性晶格模型中的两振子束缚态
• 3.3.1 BH 模型中的两振子束缚态
• 3.3.2 KG 晶格模型中的两振子束缚态
• 3.3.3 含缺陷或杂质BH 模型中的两振子束缚态
• 第四章 量子 FPU- β模型中的两振子束缚态
• 4.1 引言
• 4.2 量子化方案及动力学方程
• 4.3 研究结果
• 4.4 小结
• 总结与展望
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果